Módulo de multiplicação que não é cíclico

Question

Pela definição de Barnard (1980), um módulo de multiplicação é um $R$-módulo $M$ em que para todos os submódulos $N$, existe um ideal $I$ do $R$ de tal modo que $N=IM$. Observe que um cíclico$R$-módulo (um módulo gerado por um elemento), digamos $\langle m\rangle$ é um módulo de multiplicação, pois todos os seus submódulos, digamos $N$, pode ser escrito como $Im=I(Rm)$ Onde $I=\langle r_i\ |\ r_im\in N\rangle$.

Minha pergunta é: existe algum exemplo para um módulo de multiplicação não cíclico? Eu tentei alguns exemplos como$M_{2\times1}(\mathbb Z)$ sobre $M_{2\times2}(\mathbb Z)$, já que eu pensei que era não cíclico $\mathbb Z$, mas acontece que é cíclico $M_{2\times2}(\mathbb Z)$. Existe algum exemplo básico de módulo de multiplicação não cíclico? Desde já, obrigado!

Answer 1

Dois exemplos fáceis:

(1) Um ideal invertível é um módulo de multiplicação. Na verdade, se$I$ é invertível e $J \subseteq I$ então $K = I^{-1}J \subseteq R$ é um ideal e $J = IK$. Isso aponta para qualquer domínio de Dedekind que não seja um PID como uma fonte de ideais multiplicativos que não são principais.

(2) Todo ideal gerado por idempotentes é um módulo de multiplicação. Isso também é fácil de verificar. Então, por exemplo, em qualquer produto infinito de anéis$\prod R_\alpha$, o ideal gerado pelos vetores de base padrão é um módulo multiplicativo que não é principal.