Mostra isso $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$
Suponha $(X,\mathcal{A},\mu)$ é um espaço de medida e $f:X\to\mathbb{R}$é mensurável. Mostra isso
- $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ define uma medida no $\sigma$-algebra de subconjuntos Borel de $\mathbb{R}$
- Mostra isso $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ para cada função do Borel $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$
Aqui, consegui provar a parte 1.
Mas estou tendo dificuldades com a parte 2.
Eu sei que a integral de $g$ é definido com o suprimo das integrais de funções simples $\phi\leq g$.
Então, eu estava em primeiro lugar tentar provar o resultado para funções simples:
Assim vamos$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ ser uma função simples.
então $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
E depois disso, não consigo ver uma maneira adequada de proceder.
Agradeço sua ajuda
Respostas
A igualdade para funções simples é comprovada nos comentários. Para uma função geral não negativa, podemos proceder conforme mostrado abaixo.
Para qualquer $g \geq 0$ há uma sequência não decrescente$(\alpha_n)$de funções simples convergentes pontualmente a ele. Então temos:
$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$
Pelo teorema de convergência monótona , obtemos:
$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$