Mostra isso ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Pergunta: Suponha$x $é um número inteiro não negativo. Definir${{m}\choose {x}}=0$ E se $x>m $. Deixei$\{p_n\}$ ser sequência satisfatória $0 <p_n <1$ e $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Mostra isso$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Isso é equivalente à prova da fórmula de distribuição de Poisson? Estou perguntando isso porque na declaração da fórmula de distribuição de Poisson$np$ é constante, mas aqui quando $n\to\infty $ $np\to $alguma constante$=\lambda $. Também na fórmula de distribuição de Poisson$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ mas temos que provar para qualquer $n $não há limites. Então, a prova do problema e a prova da fórmula de distribuição de Poisson são as mesmas?

Nota: Não há limite na fórmula do problema. Temos que provar$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ não $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Desde a $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, Nós temos $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ e tente mostrar isso $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

O limite que você escreveu é a declaração formal do teorema do limite de Poisson .

A versão que você viu antes tem uma suposição um pouco menos geral (força $np_n = \lambda$ para todos $n$, ao invés de $np_n \to \lambda$) As provas serão muito semelhantes, mas provavelmente você terá que fazer algo extra para a afirmação mais geral.

Em ambas as declarações, há um limite de $n \to \infty$; Não tenho certeza do que você quer dizer com "temos que provar para qualquer$n$ não há limites. "

Answer 3

Para fixo $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Como $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ então$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$