Mostrando os elementos de uma matriz que é unimodular

Question

Cada subgrupo $H$ de um grupo abeliano livre $G$ de classificação $n$ está livre de classificação $s \leq n$. Além disso, existe uma base$u_1, ... , u_n$ para $G$ e inteiros positivos $\alpha_1, ... ,\alpha_s$ de tal modo que $\alpha_1 u_1, ... , \alpha_s u_s$ é uma base para $H$.

Este é o Teorema 1.16. no livro Algebraic-Number Theory de Ian Stewart e David Tall, na página 29. A primeira parte da prova é -

Na prova está escrito que -

De todos esses coeficientes, vamos, $\lambda(w_1 , ... , w_n)$ seja o menor número inteiro positivo ocorrendo.

e

$u_1, w_2, ... , w_n$ é outra base para $G$. (A matriz apropriada é claramente unimodular.)

QUESTÃO

1. Qual é o significado de "$\lambda(w_1 , ... , w_n)$ ser o menor número inteiro positivo ocorrendo "? ou seja, o que é $\lambda(w_1 , ... , w_n)$?

2. Como mostrar que a matriz apropriada de $u_1, w_2, ... , w_n$é unimodular? Plz mostra a derivação, obrigado.

Answer 1

Em relação à primeira pergunta: $\lambda(w_1,\dots,w_n)$ é igual ao elemento mínimo do conjunto de coeficientes positivos, ou seja, $\min\{h_i : 1 \leq i \leq n, h_i > 0\}$.

Em relação à segunda questão: a matriz associada é $$ \pmatrix{1&0&\cdots && 0\\ q_2 &1&\ddots&&\vdots\\ q_3 & 0 & \ddots&0&0\\ \vdots & \vdots& \ddots & \ddots & 0\\ q_n & 0 & \cdots &0& 1}. $$ Existem muitas maneiras de ver que essa matriz é unimodular. Deve-se notar primeiro que a matriz é triangular inferior.