mostrando uma sequência de sequências converge

Question

Suponha que temos uma sequência infinita de $n$-tuplas com:

$$f_1 = (a_{11},\space a_{12},\space ... , \space a_{1n})$$ $$f_2 = (a_{21},\space a_{22}, \space ... ,\space a_{2n})$$ $$f_3 = (a_{31}, \space a_{32}, \space ... , \space a_{3n})$$ $$\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots$$

Além disso, suponha que o "$k^{th}$ sequência vertical ", ou seja, a sequência formada pelo $k^{th}$ elemento de cada sequência, ou seja $(a_{1k}, \space a_{2k}, \space a_{3k}, ... )$ converge para algum número real $a_k$, e que isso é verdade para todas as sequências "verticais" significando para todos os inteiros $k$ com $1 \leq k\leq n.$

Então, podemos mostrar que sob a seguinte métrica $$ d((b_1, b_2,...), (c_1, c_2, ...)) = \sup_k \space\{|b_j - c_j|\}$$ a sequência de $n$-tuples $f_1, f_2, ...$ converge para $ f = (a_1, a_2, ...)$:

Desde a seqüência $(a_{1k}, \space a_{2k}, \space a_{3k}, ... )$ converge para $a_k$, dado $\epsilon > 0 ,$ existe um inteiro positivo $N_k$ tal que para todos $m \geq N_k$ $$|a_{mk} - a_k| < \epsilon$$

Deixei $N = \max\{N_1, N_2, ... N_n\}$.

Então, dado $\epsilon > 0$, para todos $m \geq N$, para todos $\textbf{k} \in \{1, 2, ..., n\}$ $$|a_{mk} - a_k| < \epsilon $$

Portanto, $$\sup_k \space \{|a_{mk} - a_k|\} <\epsilon$$

Assim, para todos $k \geq N$, $$d(f_k, f) < \epsilon$$

assim $\{f_k \}$ converge para $f$.

Pergunta: Minha pergunta é supor em vez de finita$n$- duplas, nós temos cada $f_k$ é uma sequência infinita, esta prova pode ser modificada para mostrar que o $f_k$ convergir para $f$?

ou seja, suponha que temos uma sequência infinita de sequências infinitas com:

$$f_1 = (a_{11},\space a_{12},\space ... )$$ $$f_2 = (a_{21},\space a_{22}, \space ... )$$ $$f_3 = (a_{31}, \space a_{32}, \space ... )$$ $$\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots$$

Parece que há problemas porque não podemos dizer "vamos $N = \max \{N_1, N_2, ...\}$"já que este será um conjunto infinito.

Como podemos consertar isso? Ou a afirmação não é verdadeira?

Answer 1

Um contra-exemplo: com $$ f_1 = (1, 1, 1, 1, \ldots) \\ f_2 = (0, 1, 1, 1, \ldots) \\ f_3 = (0, 0, 1, 1, \ldots) \\ f_4 = (0, 0, 0, 1, \ldots) \\ \vdots $$ você tem convergência "em colunas" para $$ f_0 = (0, 0, 0, 0, \ldots) \\ $$ mas $$ d(f_j, f_0) = \sup_k |f_{jk} - f_{0k}| = 1 $$ não converge para zero.

Observação: com uma métrica diferente, como$$d(f, g)=\sum^\infty_{n=k}\frac{1}{2^k}\frac{|f_k-g_k|}{1+|f_k-g_k|} $$ a convergência em cada componente é equivalente à convergência em relação a $d$, veja, por exemplo, Convergência em relação a$d_1(x,y)=\sum^\infty_{i=1}\frac{1}{2^i}\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|}$é equivalente a convergência pontual? .