Mostre que a função é contínua em$[-1,1]$

Question

$f(x)=\mid{x}\mid$

Deixar$a\in(-1,1)$

$\mid f(x)-f(a)\mid=\mid\mid x\mid-\mid a\mid\mid\leq\mid x-a\mid$

Deixar$\epsilon>0$ser dado e definir$\delta=\epsilon$, em qualquer momento$\mid x-a\mid<\delta,\space \mid f(x)-f(a)\mid<\epsilon.$

$\therefore f(x)$é contínua no intervalo$(-1,1)$

Também,$\lim_{x\to-1^+}f(x)=1=\lim_{x\to-1}f(x)$e$\lim_{x\to1^-}f(x)=1=\lim_{x\to1}f(x)$

$\therefore f(x) $é contínua no lado direito de$-1$e do lado esquerdo$1$.

Assim, concluímos que$f(x)=\mid x\mid$é contínua no intervalo$[-1,1]$.

Minha prova está correta?

Answer 1

Sua prova parece correta. Eu diria que você deveria incluir palavras na prova para explicar o que está sendo feito.

Você pode, de fato, provar algo um pouco mais geral. Deixar$I \subseteq \mathbb{R}$seja um intervalo tal que$f: I \to \mathbb{R}$é contínuo. Então$|f|$é contínuo.

Deixar$\epsilon > 0$seja dado e deixe$a \in I$seja nosso ponto de interesse. Então, queremos provar que:

$$\exists \delta > 0: |x-a| < \delta \implies | |f|(x)-|f|(a) | < \epsilon$$

No entanto, notamos que$|f|(x) := |f(x)|$. Pela desigualdade triangular reversa, é o caso que:

$$| |f(x)| - |f(a)| | \leq |f(x)-f(a)|$$

Sabemos que o desejado$\delta_1 > 0$existe quando temos:

$$|f(x)-f(a)| < \epsilon$$

Então, nós simplesmente escolhemos o nosso necessário$\delta = \delta_1$e terminamos.