Mostre que este conjunto de funções é linearmente independente

Question

Considere o conjunto $\{\cos{x},\sin{x},\cos{2x}, \sin{2x},\cdots\}\cup\{1\}\cup\{e^{\cos x}\}$.

Consegui mostrar que os primeiros dois conjuntos são linearmente independentes (também existem muitas soluções por aí), mas estou preso em mostrar a independência do último conjunto. Eu tentei assumir que eles são linearmente dependentes de tal forma que

$$0=a_0+ \sum_{n=1}^N a_n\cos nx+b_n\sin nx+ c_n e^{\cos x} $$ para alguns coeficientes $a_i,b_i,c_i$. Alguém pode me dar algumas dicas sobre isso? Obrigado!

Answer 1

Uma prova analítica complexa: a partir das fórmulas para $\cos (2x), \cos (3x)$ etc nós podemos escrever $e^{\cos x}=p(\cos x)$ para algum polinômio $p$. Conclui-se que todas as funções$e^{z}$ e $p$coincidir em um conjunto com um ponto limite. Pelo Teorema da Identidade, vemos que$e^{z}=p(z)$ para todos $z$ o que é uma contradição (por exemplo, LHS não tem zeros).

Segunda prova: Como mencionado acima, é um fato bem conhecido que $\cos (nx) $ pode ser expresso como um polinômio em $\cos x$. Daí nós temos$e^{\cos x} =\sum_{i=0}^{m} b_i \cos^{i}x$ para alguns $m$ e alguns coeficientes $b_i$. Isto dá$e^{t}= \sum_{i=0}^{m} b_i t^{i}$ para $-1 \leq t \leq 1$. Agora diferencie$m+1$ vezes wrt $t$ e colocar $t=0$. Você consegue$1=0$, uma contradição.

Answer 2

A representação de Fourier de uma função é única. Seria suficiente mostrar que todos os coeficientes de Fourier são diferentes de zero.

Na verdade, a função $x\to e^{\cos x}$é positivo, mesmo e diminuindo em$[0,\pi]$. Quando integramos tal função contra$\cos kx$ para obter o $k$-ésimo coeficiente, obtemos um resultado positivo, pois a contribuição principal para o integral (em $[0,\pi]$) surge do intervalo $[0,\frac{\pi}{2k}]$que é o mais próximo de zero. A contribuição negativa de$[\frac{\pi}{2k},\frac{\pi}{k} ]$ é menor em valor absoluto e o mesmo acontece com cada par de intervalos contíguos subsequentes, dando um resultado positivo.

Por exclusividade, você não pode representar a função dada como uma combinação linear finita da base de Fourier.

Na verdade, esse argumento mostra que qualquer função que é positiva, diminuindo em $[0,\pi]$ e ainda exigirá todos os cossenos de arcos múltiplos em sua representação.