Mostre que este quad é cíclico

Question

Não parece difícil, mas me prendeu:

• $I$ é o incentivo de $\triangle ABC$
• $D$ o ponto de contato do círculo com $BC$
• $M,M'$ são a intersecção da circunferência de $\triangle ABC$ com a bissetriz perpendicular de $BC$, $M'$ no arco $BAC$
• $E = AD \cap (ABC)$
• $F,F' = M'E \cap (BCI)$

Mostra isso $AIEF'$ encontra-se em um círculo.

Eu vi esse problema em um blog. Nós conhecemos aquele quadrilátero$BFCF'$ é harmônico porque $BM'$ e $CM'$ são ambas linhas tangentes.

Portanto linha $F'F$ é symedian de $\triangle BF'C$. O blog disse que isso, junto com o fato de que$\angle DIM = \angle DEF$ implica o quad $AIEF'$ é cíclico e não vejo essa implicação (mesmo que eu veja que $FF'$ é symedian e a igualdade dos ângulos).

Se vocês puderem ter outras ideias, isso também será legal.

Alguns fatos:

• $E$ é o ponto médio de $FF'$

• a bissetriz de $\angle BF'C$ atende a ambos: $(BCI)$ e $MM'$ no mesmo ponto.

Answer 1

OP menciona esta postagem do blog como inspiração para a pergunta. Essa postagem pode estar dizendo que$AIEF'$ é cíclico por causa do "eixo radical", mas se assim for, comete o erro de assumir que $I,D,F'$ são colineares.

A postagem do blog se refere a um tópico sobre o problema, do qual esta é uma entrada . A entrada define$F'$ tão colinear com $I,D$, e em uma etapa posterior (após mostrar $AIEF'$ cíclico) demonstra que $F'$ é colinear com $E,M'$.

Assumindo $I,D,F'$ colinear o método do "eixo radical" equivale a computar as potências do ponto $D$ com respeito aos círculos $(ABC)$ e $(BIC)$ e as três linhas $AE,BC,IF'$, dando-nos $$AD\cdot DE=BD\cdot DC=ID\cdot DF'.$$Pelo teorema dos acordes que se cruzam $AD\cdot DE=ID\cdot DF'$ implica $AIEF'$ é cíclico.

Depois disso, podemos perseguir o ângulo (como na entrada do tópico) para mostrar que $F'$ é colinear com $E,M'$ dando-nos a configuração do quad harmônico.

Answer 2

Nota: COMO assinalado, a seguinte resposta é inválida, pois assume $I,D,F'$ são colineares.

O objetivo é mostrar $\angle AIF' = \angle AEF’$.

$\angle AIF' = (black) + [grey] = (0.5\angle A+ \angle C + 0.5\angle B) +[90^0 – 0.5\angle B] = 0.5\angle A + \angle C + 90^0$

$\angle AEF’ = 90^0 + (purple) = 90^0 + (blue + [brown]) = 90^0 + (0.5\angle A + [\angle C])$