Mostre que$U_1 \oplus U_2=V$

Question

Deixar$V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ser um$\mathbb{R} $espaço vetorial de todos os mapeamentos de$\mathbb{R}$para$\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

Mostre que$U_1 \oplus U_2=V$.

Alguém pode me dar uma dica de como começar?

Minha ideia inicial era mostrar que$U_1 \cap U_2 = {0}$e$\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$é fácil e eu vou deixar você lidar com isso. Para a segunda propriedade, use o fato de que$f=g+h$Onde$g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$e$h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

Dica: toda função pode ser escrita como a soma de uma função par e ímpar. Por exemplo: para qualquer$g\in V$, Observe que$g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
Por$U_1\cap U_2$, pense na função que é ímpar e par!