Movimentos brownianos

Question

E se $A_t$ e $B_t$ são movimentos brownianos independentes e $a$ é um número, podemos dizer que $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ também é um movimento browniano?

Answer 1

E se $A_t$ e $B_t$ são movimentos brownianos independentes, então $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ é um processo centralizado de Gauss (devido à independência, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ tem lei $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ em fixo $t$) e a covariância do processo é

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

onde o $s\wedge t$ (mínimo de $s$ e $t$) vem do fato de que $A_t$ e $B_t$ são movimentos brownianos e o $0$ vem do fato de que $A_t$ e $B_s$ são independentes.

Nós mostramos que $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ é um processo centrado de Gauss com covariância $K(s,t)=s\wedge t$. Obviamente, as trajetórias ainda são contínuas, pois a multiplicação por uma constante preserva a continuidade e a soma de duas funções contínuas é contínua. Isso caracteriza o movimento browniano, então sim, é definitivamente mais uma vez um movimento browniano.