No teorema de Tychonoff

Question

Deixei $x_n:[0,1]\rightarrow E$ uma sequência de aplicações, onde $E$é um espaço normalizado. Suponha que para cada$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

Alegação: Pelo teorema de Tychonoff , pode-se obter isso:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ é fracamente compacto em $\mathcal{A}([0,1],E)$, Onde $\mathcal{A}([0,1],E)$ é o espaço de aplicação de $[0,1]$ para $E$.

Problema : o lado esquerdo da igualdade é um subconjunto de$\mathcal{A}([0,1],E)$, enquanto o lado direito é um subconjunto de $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

Eu sei que a seguinte aplicação é bijetiva $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

mas não sei como usá-lo, se for homeomorfismo meu problema será óbvio.

Answer 1

O lado direito (pela definição de um produto infinito) também está em$\mathcal{A}([0,1],E)$.

Seu $\Phi$é a identidade. Não há nada a provar.

IMO, é a notação $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ isso é estranho.