Norma e espectro do operador

Question

Estou me perguntando quando uma norma de operador coincide com o autovalor máximo de um operador e há um aspecto particular que me confunde bastante.

Digamos que temos um operador linear simétrico positivo contínuo $$ T : L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) $$ com autovalor máximo $\lambda>0$ de modo a $T u = \lambda u$ para alguma função própria $u\in L^2(\Omega)$. Então (se bem entendi), deve segurar$$ \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$ Em seguida, vamos supor que o operador tenha um efeito de suavização, $\mbox{image}(T) \subset H^1_0(\Omega)$ e que também é $H^1$-contínuo (estou pensando em $T$como o inverso de um operador diferencial elíptico). Neste caso, podemos interpretar o operador como$$ T : H^1_0(\Omega) \rightarrow H^1_0(\Omega) $$ O espectro deve permanecer inalterado, para que eu pense que $$ \lambda = \sup_{v \in H^1_0(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}}. $$ No entanto, a declaração $$ \sup_{v \in H^1_0(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}} = \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$parece errado para mim. É isso? Em caso afirmativo, onde está o erro em meus argumentos? Eu sinto que tenho um mal-entendido muito básico aqui.

Answer 1

O ponto principal aqui é que, para um operador $S$ em um espaço de Banach (ou espaço de Hilbert) $X$, o número $\sup_{x \in X \setminus\{0\}} \frac{\|Sx\|}{\|x\|}$ não é o raio espectral de $S$mas a norma do operador. A norma do operador é sempre$\ge$ o raio espectral, mas não podemos esperar igualdade em geral.

Em um espaço de Hilbert, uma condição suficiente para a igualdade da norma do operador e do raio espectral é que o operador seja auto-adjunto ou, mais geralmente, normal.

Mas, como apontado em um comentário de Mateusz Kwaśnicki, se $T$ é auto-adjunta em $L^2$, isso não significa que $T$ é auto-adjunta em $H^1_0$ uma vez que o produto interno é diferente do produto interno em $L^2$.

Aqui está um contra - exemplo concreto :

Deixei $\Omega = (0,2\pi)$ (dotado da medida de Lebesgue não normalizada) e definir $z,v \in H^1_0 := H^1_0(\Omega)$ de \begin{align*} z(x) & = \frac{|\sin(x)|}{\sqrt{\pi}}, \\ v(x) & = \sin(\frac{1}{2}x) \end{align*} para todos $x \in (0,2\pi)$.

Nós definimos o operador $T$ em $L^2$ de $$ Tf = \langle f, z\rangle_{L^2} \cdot z $$ para todos $f \in L^2$. Então$T$ é uma classificação auto-adjunta$1$ projeção em $L^2$ cuja norma e raio espectral são, portanto, iguais a $1$. Claramente, a gama de$T$ é um subconjunto de $H^1_0$.

A restrição de $T$ para $H^1_0$ é novamente uma projeção diferente de zero e, portanto, ainda tem raio espectral $1$. Mas a norma do operador de$T$ em $H^1_0$ é estritamente maior que $1$. Na verdade, nós temos$$ \|T\|_{H^1_0 \to H^1_0} \ge \frac{\|Tv\|_{H^1_0}}{\|v\|_{H^1_0}} = \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{45}\pi} > 1 $$ (precisamos calcular algumas integrais para obter a igualdade no meio, mas os cálculos são bastante diretos).

Isso prova que as normas do operador de $T$ em $L^2$ e em $H^1_0$ são distintos, embora o raio espectral em ambos os espaços seja $1$. Em particular,$T$ não pode ser auto-adjunta (e nem mesmo normal) em $H^1_0$.

EDIT: Uma observação adicional. Embora, no exemplo acima, a igualdade dos raios espectrais em ambos os espaços decorra do fato de que$T$ atua como uma projeção em ambos os espaços, achei que valeria a pena apontar que a igualdade dos raios espectrais é um fato geral:

Proposição. (Igualdade de raios espectrais) Let$V,X$ ser espaços de Banach complexos, de modo que $V$ está continuamente embutido em $X$. Deixei$T: X \to X$ ser um operador linear limitado de modo que $TX \subseteq V$. Então, o raio espectral do operador$T: X \to X$ coincide com o raio espectral da restrição $T|_V: V \to V$.

Prova. Usamos a fórmula do raio espectral$$ (*) \qquad r(S) = \lim_{n \to \infty} \|S^n\|^{1/n} $$ o que vale para o raio espectral $r(S)$ de cada operador linear limitado $S$ em um espaço complexo de Banach.

Para cada $n \in \mathbb{N}$ o operador $(T|_V)^n = (T^n)|_V: V \to V$ fatoriza como $$ V \hookrightarrow X \overset{T^{n-1}}{\longrightarrow} X \overset{T}{\longrightarrow} V, $$ então a fórmula do raio espectral $(*)$ implica que $r(T|_V) \le r(T)$. Mas, inversamente, a operadora$T^n: X \to X$ fatoriza como $$ X \overset{T}{\longrightarrow} V \overset{(T|_V)^{n-1}}{\longrightarrow} V \hookrightarrow X, $$ então a fórmula do raio espectral $(*)$ também implica que $r(T) \le r(T|_V)$. Isso prova a proposição.

Observação. O que é muito bom sobre a proposição acima é que ela não depende de autovalores, portanto, nenhuma suposição de compactação no operador$T$ é preciso.