Normal contável compacto implica coleção normal sem T1?
Em desta página do blog de topologia de Dan Ma sobre espaços normais collectionwise ele prova este resultado:
Proposição : Qualquer espaço normal (de Hausdorff) e contavelmente compacto é normal de coleção.
O blog assume que os espaços são Hausdorff (ou T1 aqui), mas estou interessado em saber o que acontece sem a suposição de T1.
Mais especificamente, a proposição segue o seguinte:
Lema: se$X$ é um espaço T1, os seguintes são equivalentes:
- (UMA) $X$ tem extensão contável;
- (B) Todas as famílias discretas de subconjuntos fechados não vazios de X são no máximo contáveis.
Aqui, a extensão de um espaço$X$ é o supremo das cardinalidades de subconjuntos discretos fechados de $X$. Uma família discreta de subconjuntos de$X$ é uma família tal que cada ponto de $X$ tem uma reunião nbhd no máximo um conjunto na família.
A prova do lema não é difícil (veja abaixo para integridade). Na verdade, (B) implica (A) sempre, mesmo sem a suposição de T1.
Pergunta: (A) implica (B) sem a suposição de T1?
Não posso provar, mas também não vejo um contra-exemplo. Se fosse verdade, poderíamos geralmente concluir que todo espaço compacto de ponto limite normal é normal de coleção (uma vez que espaços compactos de limite têm extensão contável). Para espaços T1, não é uma generalização, pois o compacto de limite é equivalente a compacto contável nesse caso.
A prova de (A) implica (B) assumindo T1: Let$\mathscr{F}$ser uma família discreta de subconjuntos fechados não vazios. Para cada$F\in\mathscr{F}$ escolha alguns $x_F\in F$. Então$\mathscr{G}=\{\{x_F\}:F\in\mathscr{F}\}$é uma família discreta de subconjuntos fechados (singletons). Conseqüentemente$A=\cup\mathscr{G}=\{x_F:F\in\mathscr{F}\}$é fechado e discreto. Conseqüentemente$A$ é no máximo contável e o mesmo é verdadeiro para $\mathscr{F}$.
A prova de (B) implica (A) sem suposição extra: Deixe$A$ ser um subconjunto fechado e discreto de $X$. Para qualquer$x\in A$, o singleton $\{x\}$ está fechado em $A$ Porque $A$ é discreto, e $A$ está fechado em $X$, Portanto $\{x\}$ está fechado em $X$. Então a família$\mathscr{F}=\{\{x\}:x\in A\}$ é uma família discreta de subconjuntos fechados não vazios de $X$. Conseqüentemente$\mathscr{F}$ é no máximo contável e então é $A$.
Respostas
Para $n\in\Bbb N$ deixei $U_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$, e deixar $Y$ estar $\Bbb N$ com a topologia
$$\{U_n:n\in\Bbb N\}\cup\{\Bbb N\}\,,$$
e deixar $D$ser um espaço incontável com a topologia discreta. Deixei$X=D\times Y$; claramente
$$\mathscr{F}=\big\{\{x\}\times Y:x\in D\big\}$$
é uma família discreta incontável de conjuntos fechados em $X$. Deixei$A\subseteq X$. E se$|A\cap(\{x\}\times Y)|>1$ para alguns $x\in D$, então $A$ não é discreto, e se $|A\cap(\{x\}\times Y)|=1$ para alguns $x\in D$, então $A$ não está fechado em $X$, então $X$ não tem subconjuntos discretos fechados não vazios.
Brian já mostrou que o lema (A) implica que (B) é falso se não se assume $T_1$.
Aqui está uma prova de que o resultado no título original é verdadeiro, ignorando totalmente o lema.
Proposição : (sem assumir$T_1$) Qualquer espaço compacto contável normal $X$ é coletivamente normal.
Prova: pegue uma família discreta de subconjuntos fechados de$X$. Desde a$X$é contávelmente compacta, a família deve ser finita. Este é o Lema 2 nesta resposta . Agora temos um número finito de subconjuntos par a disjuntos não vazios fechados, e podemos encerrar cada conjunto da família em um conjunto aberto com os conjuntos abertos par a disjuntos, por normalidade de$X$.