Normas de computação de mapas positivos

Question

Suponha $\Phi: S_n \to S_n$é um mapa linear positivo em matrizes simétricas. Como consequência do teorema Russo-Dye, sabemos que

$$\|\Phi\|=\|\Phi(I)\|$$

Onde $\|\cdot\|$é a norma do operador, ou seja, seção 2.5 aqui .

Ao invés disso estou interessado em $\|\cdot\|_1$, a norma de rastreamento (soma de valores singulares), como faço para calcular a norma do operador induzido nesse caso?

Answer 1

Suponho que, ao contrário do que sua referência indica, você esteja realmente interessado em um mapa que seja positivo sobre as matrizes simétricas reais.

A abordagem de "força bruta" para calcular a norma de rastreamento seria a seguinte. Deixar$E_{ij}$ denotar o tamanho $n$ matriz com um $1$ no $i,j$entrada e zeros em outro lugar. Definir$$ B_{ij} = \begin{cases} E_{ii} & i=j\\ \frac 1{\sqrt{2}}(E_{ij} + E_{ji}) & i \neq j. \end{cases} $$ Nós vemos que $B_{ij}$ forma uma base ortonormal em $S_n$ em relação ao produto interno definido por $\langle A,B \rangle = \operatorname{tr}(AB)$. Deixar$\mathcal B$ denotar a base $\mathcal B = \{B_{ij} : 1 \leq i \leq j \leq n\}$, onde as tuplas $i,j$são tiradas em ordem lexicográfica . Definir$f : \{(i,j): 1 \leq i \leq j \leq n\} \to \{1,\dots,n(n+1)/2\}$ para ser a função de contagem associada, de modo que $$ f(1,1) = 1, \quad f(1,2) = 2,\dots, f(2,1) = n+1, \dots, f(n,n) = n(n+1)/2. $$ Deixar $M$ denotar o tamanho $n(n+1)/2$ matriz de $\Phi$ relativo a $\mathcal B$. As entradas de$M$ satisfazer $$ M_{\phi(i,j),\phi(p,q)} = \langle \Phi(B_{ij}),\Phi(B_{pq})\rangle. $$ A norma de rastreamento de $\Phi$ é igual à norma de rastreamento de $M$.