Notação de subconjunto com várias condições

Question

Deixar$p$seja um número primo e seja$A = \{k : k\in\Bbb Z^+, 1\le k\le p\}$. Seja \begin{align} B &= \{k \in A: \text{$k$é primo}\}\\ C &= \{k \in A: \text{$k$é composto}\}\\ D &= \{(k, k+2): k \in A\} \end{align}

eu quero criar$E$com a condição: esses pares de números em$B$, Onde$k$é primo, e$k+2$é composto, e também quero mostrar que$E$é um subconjunto de$D$.

Por exemplo se$p=5$, então$$A=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{2,3,5\},\ C=\{4\},\ D=\{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7)\}$$Então$E=\{(2,4)\}$.

Posso simplesmente dizer$E \subset D = \{(k,k+2) \in D: k \in B \text{ and } k+2 \in C\}$, ou se não, como devo formular o que é$E$?

Answer 1

Então nós temos$$\begin{cases}B_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ prime}\}\\C_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ composite}\}=\{k:3\le k\le p, k\text{ composite}\}\\D_p=\{(k,k+2):1\le k\le p\}\end{cases}$$Você deseja selecionar esses números$k\in B_p$de tal modo que$k+2$é composto. Observe que$1\le k\le p\Leftrightarrow 3\le k+2\le p+2$, então$k+2\in C_{p+2}$.

então$(k,k+2)\in B_p\times C_{p+2}$. Mas$B_p\times C_{p+2}$contém muitos elementos estranhos que não são da forma$(k,k+2)$. Então fazemos a intersecção com$D_p$para remover todos os pares que não são da forma$(k,k+2)$. Assim, seu conjunto necessário é$$E_p=B_p\times C_{p+2}\cap D_p$$A partir daqui, percebe-se que$E\subseteq D_p$. Observe também que$(1,3)\in D_p\forall p$mas$(1,3)\notin E_p$e assim$E\subset D_p$.