O infinito como limite de forma indeterminada

Question

Existe esse limite $$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}$$ para o qual construí um gráfico e sei a resposta, então a questão não é sobre como calculá-lo, mas sobre minha observação de que quando $x$ aproximações $1$ da direita, o $\ln x = 0^+ $, mas quando $x$ aproximações $1$ da esquerda, o $\ln x = 0^-$.

Com base nesse fato, embora seja uma forma indeterminada $0 : 0$, já posso dizer que o limite não existe ou isso não basta e preciso transformá-lo em uma forma determinada? E se eu tiver que transformá-lo em uma forma determinada, como posso fazer isso?

Answer 1

Para avaliar a indeterminação basta inserir o valor limite para numerador e denominador para ver se está na forma $\frac 0 0$.

Para a solução, podemos evitar l'Hospital por $x-1=t \to 0$ obter

$$\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\ln (1+t)}{t^{2}}=\frac1t\frac{\ln (1+t)}{t}$$

com $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$ portanto, podemos concluir que o limite não existe.

Answer 2

Você não "transforma" uma expressão em uma forma indeterminada. Ele é uma forma indeterminada até que você tenha calculado o seu limite.

Você reconheceu uma forma indeterminada do tipo $\dfrac00$, agora sua tarefa é avaliá-lo. L'Hospital é um caminho.