O limite existe e é igual $1$?
Deixei $n\ge m>1$ser inteiros. Quero saber se o seguinte limite existe:
$$\lim\limits_{k\to \infty}\frac{q_1q_2\cdots q_{[k\log_n m]}}{m^{\log_n q_1q_2\cdots q_k}},$$ Onde $q_i (i\ge 1)$ são fatores comuns de $m$ e $n$ (ou seja, $q_i | n $ e $q_i |m$ para todos $i\ge 1$) e $[x]$ denota a parte inteira de $x$.
Eu acho que o limite é $1$ e pode mostrar isso por alguns exemplos especiais (por exemplo, todos $q_i$ são iguais, ou $n=m$e assim por diante), mas não posso provar. Alguém pode me ajudar? Muito Obrigado!
Respostas
Eu acredito que a resposta é não (para alguma escolha de $g_i$) exceto quando $(m,n)=1$ ou $m=n$. É útil definir$c := \log_n m \le 1$. Então, a expressão no limite pode ser escrita como:
$$ Q_k = \frac{q_1 \cdots q_{\lfloor ck\rfloor}}{(q_1 \cdots q_k)^c}$$
Nós afirmamos que, se $0 < c<1$ e $q_i$ pode ter pelo menos um outro valor $a>1$, então existe uma escolha de sequência $q_i$ isto faz $\liminf_k Q_k = 0$ e $\limsup_k Q_k = \infty$.
Primeiro, observe que podemos fazer um único valor de $Q_k$ tão pequeno ou tão grande quanto quisermos (escolhendo um adequado $k$) Como$k\to \infty$há um número ilimitado de fatores no denominador que não estão presentes no numerador. Definindo todos os$q_i = 1$ até $i \le \lfloor ck \rfloor$, e todos os restantes $q_i = a$, podemos obter um número ilimitado de $a$s no denominador, elevado a uma potência positiva fixa, tornando a fração o mais próximo de $0$ como nós gostamos.
Oposto, pelo recheio $q_i = a$ até $i \le \lfloor ck \rfloor$ e $q_i = 1$ em todos os outros lugares, temos um número ilimitado de $a$é elevado ao poder $1-c$, que pode ser tão grande quanto quisermos.
Neste ponto, você deve ser capaz de se convencer de que ainda podemos atingir esses altos e baixos, dado qualquer prefixo finito $q_1, q_2, \ldots, q_s$. Nós apenas escolhemos nosso$k$ grande o suficiente (em relação a $s$) para que a contribuição do nosso bem escolhido $a$ e $1$ termos supera a contribuição do primeiro $s$termos. É instrutivo considerar um modelo simples como o caso$c=1/2$onde os expoentes e a função de piso são mais limpos. Os detalhes são um pouco confusos, eu realmente não desejo resolvê-los a menos que seja necessário.
Assim que tivermos isso, podemos obter uma única sequência de $q_i$ da seguinte forma: escolha algum prefixo inicial dando $Q_k = 1/2$. Em seguida, estenda-o para que$Q_{k’} = 2$. Em seguida, estenda-o novamente para que$Q_{k’’}= 1/3$, então $3$, $1/4$, $4$, e assim por diante. Isso tomará a forma de trechos cada vez mais (exponencialmente) mais longos de$1$areia $a$s.
Moralmente, esses são valores exponencialmente grandes que estamos multiplicando e dividindo, e há uma defasagem significativa entre o numerador e o denominador (você pode alterar muitos termos no denominador sem afetar o numerador até muito mais tarde). Portanto, não é surpreendente que não converta incondicionalmente.