O momento 4 é um vetor ou uma forma 1?
Este é um seguimento de https://physics.stackexchange.com/a/576885/117014. Se não devermos considerar um vetor e sua forma 1 dual "canonicamente" para representar o mesmo objeto, então parece que devemos ser capazes de dizer se o momento 4, por exemplo, é um vetor ou uma forma 1. Eu poderia perguntar a mesma coisa sobre o tensor de campo eletromagnético, mas o momentum parece ser um bom lugar para começar. Eu tendo a pensar na força como uma forma 1 porque na mecânica clássica pura é o negativo do gradiente de um potencial (Pergunte a Susskind). Visto que a força também é a derivada do tempo do momento, parece razoável considerar o momento 1 formulário. Mas, também podemos pensar no momento como o produto da massa com velocidade 4, que é um vetor 4.
Portanto, se um vetor e sua forma dual 1 não devem ser vistos como representações diferentes do mesmo objeto, o momento deve ser um ou outro. Ou isso, ou temos dois objetos geométricos distintos que representam o momento.
Qual é?
Respostas
Para mim, a definição mais natural de momentum é por meio do formalismo de Lagrange, que produz a forma única $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}$. Pegando o Lagrangiano padrão
$$L(x, \dot x) = m\sqrt{g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}$$ (onde a diferenciação é feita com relação ao tempo adequado), segue-se então que $p_\mu = g_{\mu\nu} m\dot x^\nu$. Dito isto, este é claramente o irmão do vetor 4$\tilde{p}^\mu = m \dot x^\mu$, com o índice aumentado / diminuído por meio da métrica.
Do ponto de vista de Lagrange, se adicionarmos um termo de energia potencial, as equações de movimento de Lagrange assumem a forma
$$\frac{d}{d\tau} p_\mu = -\frac{\partial U}{\partial x^\mu} \equiv f_\mu$$então, como você diz, dessa perspectiva, a força é naturalmente uma forma única. Mas, novamente, a métrica nos fornece um isomorfismo, resolvendo assim
$$\frac{d}{dt}p_\mu = f_\mu$$ e $$\frac{d}{d\tau} \tilde{p}^\mu =g^{\mu\nu} f_\nu \equiv \tilde{f}^\mu$$
são basicamente equivalentes.
Se considerarmos a massa pontual clássica mítica, ela tem um momento 4 determinado por sua massa e sua linha de mundo. Eu chamo isso de objeto "prioritário". Ele existe antes de qualquer parametrização múltipla, ou métrica (ou observação).
OK tudo bem. Você está falando sobre$p^\mu = m \dot x^\mu$. Esta expressão é perfeitamente bem definida sem nenhuma estrutura adicional necessária.
Quer a expressemos de forma covariante ou contravariante, a expressão se refere à mesma entidade física.
Sem uma métrica (ou alguma outra estrutura que forneça um isomorfismo semelhante), você não pode "expressá-lo covariantemente". O momentum ao qual você se referiu antes é bem definido por si só, mas você não pode mapeá-lo para um covector sem implicitamente fazer uma escolha de métrica (ou outro mapa de redução de índice).
Normalmente escrevo momentum covariantemente. Mas não tenho um argumento ontológico para considerar isso uma propriedade inerente do momento.
Para isso, você precisa ser mais específico sobre o que entende por momentum. Se você está falando sobre a massa vezes a velocidade 4, isso é um vetor 4. Se você está falando sobre o momento canônico que é conjugado à posição nas imagens Lagrangianas ou Hamiltonianas, e cujos componentes espaciais (i) atuam como geradores infinitesimais de traduções espaciais , e (ii) são conservados na presença de simetria de tradução espacial , então esse objeto é um covector.
Como um exemplo concreto, considere o espaço plano FLRW espaço- tempo em que
$$ds^2= c^2dt^2 - a^2(t)\big(dx^2+dy^2+dz^2\big)$$
Esta métrica é homogênea e isotrópica, o que implica na conservação de 3 momentos. No entanto, não é$p^k = m \dot x^k,\ k=1,2,3$ que é conservado, mas sim $p_k = -a^2(t)m\dot x^k$.