O número esperado de cabeças

Question

Dado $10$ moedas justas :

• Na primeira rodada, jogamos cada moeda uma vez, o que nos dá uma combinação de cara e coroa.
• Na segunda rodada, jogamos apenas as moedas que caíram na cauda na primeira rodada.

Qual é o número esperado de cabeças após esta experiência $?$

A intuição me diz que é $5 + 2.5 = 7.5$.

Answer 1

Uma solução alternativa é a seguinte: imagine que você jogou todas as moedas duas vezes. Então, qualquer moeda que deu cara no primeiro lance ou no segundo lance seria uma das que você deseja contar. A probabilidade de obter pelo menos uma cabeça em duas voltas é$3/4$, então o número esperado de moedas que recebem pelo menos uma cara é $10 \times 3/4 = 7.5$.

Answer 2

A intuição não é suficiente para resolver um exercício ...

O esperado #H na primeira rodada é evidentemente $10\times\frac{1}{2}=5$

Na segunda rodada,

$Y|X\sim Bin\Big(10-x;\frac{1}{2}\Big)$

portanto

$$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=\mathbb{E}\Bigg[\frac{10-x}{2}\Bigg]=5-\frac{1}{2}\mathbb{E}[X]=\frac{5}{2}$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{}}$

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\begin{align} &\overbrace{\color{#f44}{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{1 \over 2}^{k} \pars{1 \over 2}^{n - k}}} ^{\substack{\ds{First\ Round:}\\[1mm] \ds{\color{#f44}{k}\ \mbox{heads}}}}\,\,\, \overbrace{\color{#44f}{\sum_{j = 0}^{n - k}{n - k \choose j}\pars{1 \over 2}^{j} \pars{1 \over 2}^{n - k - j}}} ^{\substack{\ds{Second\ Round:} \\[1mm] \ds{\color{#44f}{j}\ \mbox{heads}}}} \\[2mm] &\ \times\pars{k + j} \\[5mm] = &\ {1 \over 2^{2n}}\sum_{k = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{n - k}{n \choose k} {n - k \choose j}2^{k}\pars{k + j} = \bbx{{3 \over 4}\,n} \\[5mm] &\ \stackrel{\ds{n\ =\ 10}}{\ds{\implies}}\quad\bbx{7.5} \\ & \end{align}