O que é $a$ na série Tayor?

Question

Então, estou tentando aprender um pouco de cálculo II por conta própria antes do meu primeiro semestre (online) na faculdade. Estou estudando Taylor e as séries de poder agora por meio das notas de matemática de Paul .

Embora eu entenda como obter os coeficientes da série de potências conforme o autor descreve bem, estou confuso sobre o que a variável '$a$' representa:

É '$a$'apenas algum valor próximo a'$x$'? Se sim, por quê?

Eles afirmam especificamente que a fórmula para $f(x)$ acima está a série de Taylor para $f(x)$ sobre $x = a$. Alguém pode explicar o que isso significa?

Saber disso seria útil porque mais tarde eles tentam apresentar a série Maclaurin como a série de Taylor sobre a = 0 e x = 0 ...

Qualquer orientação é muito apreciada!

Answer 1

A ideia da Taylor Series expandindo uma função é levar algum ponto $a$e obter informações sobre a função nesse ponto. Essas informações incluem o valor da função naquele ponto e como a função está "mudando" naquele ponto específico (é por isso que as derivadas estão envolvidas). Em seguida, usamos essas informações para "replicar" a função por meio de um polinômio (potencialmente infinito).

Em última análise, você deve escolher qual o valor de $a$é que você quer tomar. E se${a=0}$ - estamos pegando informações sobre a função no ponto ${x=0}$.

Observe que "$a$ sendo algum ponto perto de $x$"neste contexto não faria sentido, porque $a$será uma variável constante e estática. O que quero dizer é que você escolhe o valor de$a$ primeiro , e então você obtém o polinômio no qual está interessado - e$x$é apenas uma variável livre. Por exemplo, se eu quisesse expandir alguma função${f(x)}$ sobre ${x=5}$, Eu escreveria

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(x-5)^n}{n!}}$$

Se você quiser calcular ${f(20)}$, você consegue

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(20-5)^n}{n!}}$$

Eu também poderia expandir em torno de, digamos, ${a=3}$ e pegue:

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(x-3)^n}{n!}}$$

Daí também

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(20-3)^n}{n!}}$$

( desde que algumas condições , de qualquer maneira).