O que é $P(Y=1)$?

Question

Deixei $X$ser o número de lançamentos de uma moeda justa necessários para obter a primeira cara. E se$Y | X = n$ é distribuído como Binomial$(n, \frac{1}{2})$, então o que é $P(Y = 1)$?

(A) 4/9 
(B) 1/4 
(C) 1/3 
(D) 5/9

O que eu entendi até agora é que $X$segue a distribuição geométrica. A outra parte, não pude relacionar. Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Uma maneira típica de resolver isso seria aplicando a Lei da Probabilidade Total: $$P(Y=1)=\sum_{n=1}^\infty P(Y=1|X=n)P(X=n)=\sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{4}\right)^n$$