O que torna uma boa grade computacional?
A maioria dos métodos computacionais para resolver PDEs são baseados em grade. O que torna uma grade computacional "boa", além de ser suficientemente fina para resolver recursos de soluções numéricas? As grades com células de tamanho mais ou menos iguais são melhores do que aquelas com tamanhos de células de grade fortemente variáveis? As grades com células mais "arredondadas" são melhores do que aquelas com células "distorcidas"? As grades com o tamanho da célula mudando gradualmente são melhores do que aquelas com o tamanho da célula mudando abruptamente? Algumas grades computacionais são esteticamente agradáveis. Uma grade de melhor aparência é realmente melhor para cálculos? As respostas a todas essas perguntas certamente dependem muito dos métodos numéricos escolhidos e do problema de interesse. Existe uma visão geral de alto nível, um artigo ou um livro, discutindo o que torna uma grade "boa", para uma gama de métodos de solução e problemas numéricos de interesse?
Respostas
Do ponto de vista do desempenho, você está sempre interessado em preservar o máximo possível de "estrutura" em sua grade. Os cálculos em uma malha simples ou hexaédrica, em que cada célula se parece com a próxima, terão melhor desempenho, pois você não precisa transformar as coordenadas locais em globais de maneira diferente para cada célula. Além disso, você não precisa salvar as coordenadas da célula (por exemplo, pontos de borda) na memória, pois você pode reconstruí-las. Você também pode calcular as posições de um vértice facilmente pela posição dentro de sua matriz. A regra é usar grades estruturadas sempre que possível.
Dito isto, nem sempre é possível. Se o problema que você está tentando resolver for qualitativamente diferente em diferentes regiões de seu domínio, pode não ser benéfico super-resolver as regiões onde nada está acontecendo e, ao mesmo tempo, sub-resolver a região que você está realmente interessado apenas por uma questão de estrutura. Em casos como esse, malhas não estruturadas que variam em espaçamento são a melhor escolha. (Um exemplo para isso seria o fluxo em torno de uma asa de um avião, ou a camada limite nas interações fluido-sólido, etc.)
Outro aspecto é a geometria do seu domínio de simulação. Se você está simulando uma caixa, é simples gerar uma grade estruturada para resolvê-la. Se você quiser fazer uma análise de rigidez de elasticidade linear em alguma peça usinada com geometria complexa, simplesmente não será capaz de preservar qualquer estrutura.
Ao lidar com grades não construídas, existem algumas desvantagens associadas às geometrias celulares extremas. Em um triângulo onde os lados são alongados muito longe do lado curto, a aproximação derivada do gradiente será muito melhor em uma direção espacial do que na outra.
A melhor escolha para uma grade numérica é aquela que irá aproximar com mais precisão a solução para o seu problema (sem ser muito caro computacionalmente). Mas, além disso, os recursos específicos dependerão muito do tipo de problema que você está tentando resolver. Uma grade pode ser esteticamente agradável porque explora habilmente alguma simetria do problema. Uma grade pode ser não uniforme devido à escolha do sistema de coordenadas. Freqüentemente você não sabe realmente quão fina a grade deveria ser; é por isso que métodos como refinamento de malha adaptável e multigrid são usados. Tudo depende do problema específico.
Meu ponto é que não existe uma resposta única para todos, e o processo de resolver PDEs computacionalmente geralmente envolve algumas tentativas e erros. Não tenho conhecimento de um artigo de revisão ou livro que cubra todas as possibilidades, mas existem muitos textos abrangentes sobre métodos baseados em grades. Por exemplo, Métodos de diferenças finitas para equações diferenciais ordinárias e parciais de R. Leveque (SIAM, 2007) é um dos muitos que fala sobre algumas dessas considerações no contexto de métodos de diferenças finitas. Em minha opinião, a melhor maneira de se atualizar seria examinar os trabalhos de pesquisa em busca de problemas semelhantes aos seus e ver o que os autores usaram; este é geralmente o estado da arte. Boa sorte!