ODE de 2ª ordem com soluções não limitadas

Question

Eu tenho que encontrar (se possível) $f$ de tal modo que $$y''(t)+y(t)=f(t)$$ só tem soluções não limitadas em $\Bbb R$.

Acabei de observar que, se eles precisam ser ilimitados, nenhum deles pode ser constante e eu não sei mais o que fazer. Alguma dica?

Answer 1

Uma vez que as soluções homogêneas de suas equações são da forma $t\mapsto \alpha\cos(t)+\beta\sin(t)$, com $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, e assim delimitado, é suficiente encontrar um $f$de forma que uma solução particular de sua equação seja ilimitada. Levar$f(t)=e^t$, o que leva à solução particular $y(t)=\frac{1}{2}e^t$, e você pode concluir.