ODE na variável $r$

Question

Tenho certeza que é uma pergunta simples, mas vou precisar de ajuda.

Ao tentar resolver um PDE usando a separação de variáveis, me deparei com um ODE.

Quero resolver o seguinte ODE: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

A solução é $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Ele verifica quando você o conecta, mas como realmente obtemos a solução?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Reescreva-o como: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Agora apenas resolva como: $$y''+\lambda^2y=0$$ Onde $y=rR(r)$. É apenas uma equação diferencial linear de segunda ordem fácil de resolver.