Onde eu estou errando; anuidade de valor presente

Question

Suponha que uma anuidade forneça 20 pagamentos anuais de 1440 dólares, com o primeiro pagamento chegando em 7 anos a partir de agora. Se a taxa nominal de juros for 8,2% conversível mensalmente, qual é o valor presente da anuidade?

Minha tentativa:

$1440\left(\frac{\left(1-v^{20}\right)}{j}\right)v^7$ Onde $j=0.082/12$ e $v=1/1+j$

Eu tentei muitos métodos diferentes, mas não consigo obter a resposta certa

Answer 1

O fluxo de caixa é $$PV = 1440 v^7 + 1440 v^8 + \cdots + 1440 v^{26},$$ Onde $v = 1/(1+i)$é o fator de desconto de valor presente anual efetivo. Devemos resolver para$i$, a taxa de juros anual efetiva: $$1 + i = \left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{12},$$ Onde $i^{(12)} = 0.082$é a taxa de juros nominal mensal. Conseqüentemente$i \approx 0.0851531$e $$\begin{align} \require{enclose}PV &= 1440 v^6 (v + v^2 + \cdots + v^{20}) \\ &= 1440 v^6 a_{\enclose{actuarial}{20} i} \\ &= 1440 v^6 \frac{1 - v^{20}}{i} \\ &\approx 1440 (1.0851531)^{-6} \frac{1 - (1.0851531)^{-20}}{0.0851531} \\ &\approx 8336.36. \end{align}$$

Você cometeu alguns erros em sua solução. Primeiro, sua programação de descontos está incorreta. Você usou a fórmula para uma anuidade imediata, cujo primeiro pagamento ocorre um período após o início da anuidade. Então, ou você deveria ter escrito$$v^6 a_{\enclose{actuarial}{20}}$$ com um adiamento de $6$ anos mais um ano a partir da anuidade imediata, ou $$v^7 \ddot a_{\enclose{actuarial}{20}}$$ que difere $7$ anos e depois usa uma anuidade vencida.

Em segundo lugar, você não calculou a taxa de juros anual efetiva correta. Isso é necessário porque, embora os juros sejam especificados nominalmente como uma taxa mensal, o que importa para o desconto é a taxa anual equivalente .