Opção em uma opção
Qual é o valor do contrato (a ser pago no momento $t_0$) que dá o direito (mas não a obrigação) de comprar uma opção Vanilla Call (com certo exercício K) a um preço pré-determinado $p$ no futuro $t_e$? O preço,$p$ é determinado em $t_0$ e pago em $t_e$se o titular exercer o direito de compra da opção. Suponha que a ação seja lognormal com volatilidade constante.
Respostas
A prova é relativamente longa, então me concentro em exibir o raciocínio e as etapas principais.
Trabalhamos em um modelo Black-Scholes. Sem perda de generalidade, nos concentramos em uma opção com greve$P$ comprar em $t_e$ uma opção de compra europeia expirando em $T$, escrito em um estoque $S$. As expectativas são sempre tomadas em relação à medida neutra ao risco$Q$ salvo indicação em contrário, e escrevemos $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
O valor que $C_t$ de uma opção de compra europeia é igual a: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
O valor que $O_t$ de uma opção sobre uma opção de compra europeia é dada por: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ onde a última desigualdade decorre da lei das expectativas iteradas, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ é o ataque composto, e $S^\star$ é o valor de $s$ que resolve a seguinte equação: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ Onde $c$ é o preço Black-Scholes sem desconto para uma opção de compra europeia: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
Na prática, a quantidade $S^\star$ pode ser calculado resolvendo numericamente a Equação $(2)$, por exemplo, de Newton-Raphson. Agora, o terceiro termo na Equação$(1)$ é apenas a probabilidade de uma variável log-normal estar acima $S^\star$. Por analogia com o clássico Black-Scholes, isso é igual a:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Para calcular o segundo termo em $(1)$, nós definimos $Z$ e $Y$ como duas variáveis aleatórias normais independentes com média zero e variância unitária, a fim de representar os incrementos brownianos de $t$ para $t_e$ e de lá para $T$. Observe que:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Onde $X$ é uma terceira variável normal padrão com a seguinte correlação com $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Daí o segundo termo na Equação $(1)$ é a probabilidade normal bivariada cumulativa ao longo $Z$ e $X$ parametrizado por sua correlação $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Para o primeiro termo na Equação $(1)$, mudamos a medida da expectativa para a medida do estoque, onde o numerário é o estoque $S$, que iremos escrever $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
O processo Radon-Nikodym implícito nesta mudança de medida é: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ O "processo Novikov" para esta mudança de medida é, portanto, $\theta_t:=-\sigma t$. Assim, o seguinte processo é o Movimento Browniano sob a medida de estoque:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Isso implica que a deriva do estoque sob esta nova medida aumenta em $\sigma^2$. Podemos alavancar a Equação$(4)$ mas desta vez em variáveis normais padrão $Z'$, $Y'$ e $X'$ sob a medida de estoque $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Isso é: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Definindo: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Em seguida, combinando Equações $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ e $(3.c)$, obtemos o resultado desejado: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Como você pode ver, é muito semelhante à Equação de Black-Scholes para uma opção de compra:
- O terceiro termo da fórmula de avaliação para $O_t$ é equivalente ao segundo termo na fórmula de Black-Scholes, ou seja, o desconto de greve $P$ vezes a probabilidade de que a opção sobre a opção seja exercida;
- Os dois primeiros termos combinados parecem muito próximos do valor Black-Scholes de uma opção de compra: isso é esperado, porque a opção está escrita em uma opção de compra. No entanto, as probabilidades$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ e $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ contabilizar o valor do preço das ações em $t_e$ e $T$. Isso ocorre porque quando você entra em uma opção de compra vanilla, você sabe o preço da ação na data de negociação$t$ mas não no vencimento $T$. Neste caso, você entrará na opção em um momento futuro$t_e>t$, portanto, você não sabe o valor do subjacente nem no início $t_e$ nem no vencimento $T$: esta incerteza elevada é capturada pela distribuição normal bivariada.
Acho que você está se referindo a uma opção composta . Sua avaliação sob as premissas de Black-Scholes é fornecida no link. A opção foi derivada pela primeira vez por Geske (1978), veja aqui o artigo original .