Operador de matriz simétrica

Question

Deixei $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ser uma matriz simétrica com valores próprios $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ e decomposição espectral dada por $$ A = PDP^{\top}, $$ Onde $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ e $P$ é ortogonal.

Deixei $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ seja um conjunto tal que $\lambda_i\in\mathcal{S}$ para todos $i$, e definir alguma função $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Nós definimos a matriz $f(A)$ Como $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ Onde $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

É $f(A)$ bem definido?

Quero dizer, a decomposição espectral $A = PDP^{\top}$ não é único, pois pode haver $i,j$ st $\lambda_i=\lambda_j$, o que provoca aquele $P$ não é único.

Qualquer ideia será apreciada!

Answer 1

Está bem definido. A razão é que$f(D)$ pode ser expresso como um polinômio em $D$ (cujo grau e coeficientes dependem de $f$ e $D$), que faz $f(A)$ expressável como um polinômio em $A$. Na verdade, se$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$são aqueles autovalores distintos de$A$ e $g$ é o polinômio de interpolação de Lagrange $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ então $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ para cada $i$. (No caso de canto onde$A=\mu I$, nós definimos $g$ como o polinômio constante $f(\mu)$.) Conseqüentemente $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ para cada $i$ (porque cada $\lambda_i$ é algum $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ e $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Desde a$g$depende apenas do multi-conjunto não ordenado de autovalores de$A$ mas não em $P$ ou na ordem do $\lambda_i$s na diagonal de $D$, o produto $Pf(D)P^T$ sempre avalia com o mesmo valor, a saber $g(A)$, independentemente da decomposição espectral realizada.

Answer 2

Porque $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Definir $P^0=I$. Então se$p$ é um polinômio, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Para a matriz diagonal $D$ com diagonal $d_1,d_2,\cdots,d_N$, esta definição de $p(D)$ dá a matriz diagonal com diagonal $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Isso é consistente com a avaliação padrão de um polinômio com a matriz$A$. E você pode ver que$(pq)(A)=p(A)q(A)$ por exemplo.