Órbitas de $SO(3)$

Question

Aviso: esta questão teve várias edições; este trata o caso$k=\mathbb{R}$, enquanto vou postar outro para o caso complexo.

Considere a ação de $SO(3)$ em $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, com coordenadas homogêneas $x_0,x_1,x_2$, da forma $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Eu gostaria de entender quais são as três órbitas dessa ação, e entender se a ação é transitiva, ou seja $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ isto é, desde $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Eu gostaria de estudar $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Para fazer isso, considerei para simplificar o ponto $p=(1:0:0)$, e eu descobri que $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $UMA$ is equal to $p$}\}.$$ Para concluir, devo mostrar que dado um ponto $y\in \mathbb{P}^2$, existe uma matriz $B\in SO(3)$ de tal modo que $Bp=y$, ou seja, a primeira coluna de $B$ é igual a $y$. Infelizmente agora estou preso, porque não sei como criar uma matriz simplesmente de uma coluna$y$.

Answer 1

Você precisa de uma matriz $B$ de tal modo que $Bp$ é proporcional a $y$ (pensando em $y$ como um vetor em $\Bbb R^3$) Portanto, o primeiro passo é substituir$y$ com $y/\|y\|$, de modo que é um vetor unitário. Então você precisa de uma matriz de rotação cuja primeira coluna é$y$. As outras duas colunas devem ser ortogonais a$y$, e devem ser orientados positivamente. Então aqui está uma construção:

Deixe a menor entrada de $y$, em valor absoluto, seja o $i$º. Deixei$w = e_i$. Calcular$$ v = w - w \cdot y $$ que é ortogonal a $y$ (por que não pode ser zero? Isso é um exercício para você), e então deixe $$ u = v / \| v \| $$ que é um vetor unitário ortogonal a $y$. Então deixa$B$ seja uma matriz com colunas $y, u, $ e $y \times u$.

Mas observe que isso funciona para todos os pontos $y$, não apenas aqueles em sua curva $C$, então eu realmente não entendo como isso resolve o seu problema. Provavelmente não entendi algo.