$p$- representação radical

Question

Estou lendo sobre $p$representação -adic. Eu não consigo entender como$p$- a representação radical é uma espécie de imagem espelhada da base $p$ representação de números reais.

Dado $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ com

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

nós podemos escrever $\alpha$ Como $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Não consigo entender como podemos somar e multiplicar $p$Números -adic. Alguém poderia explicar com um exemplo concreto? Possivelmente ($\cdots 555.5)^2$ dentro $\mathbb Q_{7} $ já que li sobre isso e não consigo compreender nada?

Answer 1

Minha recomendação é esta: prepare para si mesmo uma tabela de adição e uma tabuada de multiplicação para números inteiros $0,1,\dots,6,7$, que são notados $0,1,\dots,6,10$em notação septária. Em seguida, prossiga com a multiplicação exatamente da mesma maneira que (espero que) você aprendeu no ensino fundamental, com carrega e assim por diante. Você veria um padrão, uma vez que$\dots555;5$ é o número racional $\frac{-5}{42}$, mas demora um pouco para aparecer. Para trinta lugares, o seu quadrado acima acaba sendo$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Embora eu tenha feito muito $p$- cálculos básicos deste tipo à mão, garanto-vos que para este cálculo tive a ajuda de um pacote que trata $p$Números -adic.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ e $\Bbb{Q}_7$ são a conclusão de $\Bbb{Z}$ e $\Bbb{Q}$ para o valor absoluto $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Então, funciona da mesma maneira que para$\Bbb{R}$ a conclusão de $\Bbb{Q}$ para $|.|_\infty$. Aproxime concretamente sua série$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ de $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, multiplique como números racionais padrão, você obtém uma aproximação de $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$