Pacote normal e explosão

Question

Vamos trabalhar sobre o complexo espaço projetivo: considere uma variedade suave $X$ e uma subvariedade $Y$. Eu aprendi que, se fizermos a explosão de$X$ com centro $Y$, obtemos uma nova variedade $\tilde{X}$, junto com um mapa $\pi: \tilde{X}\to X$, que é um isomorfismo fora do locus excepcional, que é $Y$.

Embora eu não tenha uma referência precisa, disseram-me que o divisor excepcional de $Y$, essa é a imagem inversa $\pi^{-1}(Y)$, coincide com o pacote projetivo do pacote normal, ou seja,

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

Onde $\sim$ é a ação padrão de $\mathbb{C}$.

Questões:

• O que é uma boa referência dessa construção? Eu sei que é o conteúdo do Teorema II.8.24 da geometria algébrica de Hartshorne, mas sem um conhecimento da teoria dos esquemas (e construção do projeto e feixes coerentes) é um pouco difícil, então talvez haja um texto mais acessível;
• Nas páginas 86-87 dessas notas ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), começamos com uma curva racional $\Gamma^+$ dentro $X^+$ com pacote normal $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: então os autores fazem a explosão junto $\Gamma^+$, e afirma que o divisor excepcional é $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ mas usar as fórmulas acima deve ser $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: o que estou perdendo?

Answer 1

Falta uma hipótese em sua afirmação: também precisamos $Y$ser não singular. De qualquer forma, uma referência alternativa é a seção 22.3 do livro "The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry" de Vakil , que geralmente é considerada uma referência mais acessível do que Hartshorne. Vakil não fornece uma prova da afirmação que você deseja - é o Exercício 22.3.D -, mas a preparação para o exercício pode fornecer alguma orientação útil sobre como prová-la.

Infelizmente, não estou ciente de uma referência para esta declaração que não use a linguagem de esquemas, a construção Proj e feixes quasi-herentes, pelo menos até certo ponto.

Para responder à sua segunda pergunta, os dois feixes projetivos são isomórficos, porque feixes projetivos não mudam se você tensor por um feixe de linha. Este é o exercício 17.2.G nas notas de Vakil e o Lema II.7.9 em Hartshorne. Outra referência para a declaração geral é Stacks Project, tag 02NB . Em particular, para todos$c \in \mathbb{Z}$, temos $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$