Para auto-adjunto $A$ e $B$, Quando é $(A+iB)^*$ o fechamento de $A-iB$?

Question

Suponha que eu tenha dois operadores auto-adjuntos $A$ e $B$ de tal modo que $\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)$ é denso e $B$positivo. Então$A\pm iB$ (com domínios $\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)$) são fecháveis. O que são condições genéricas para que$(A+iB)^*$ é o fechamento de $(A-iB)|_{\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)}$? $A$ ou $B$ limitado é suficiente, mas isso é válido em geral?

NB: Estou realmente interessado em saber se $0$ está no conjunto resolvente do fechamento de $A+iB$, que decorre facilmente da condição acima.

Answer 1

Em geral, isso não é verdade. Deixar$\Omega$ seja um domínio com limites suaves, deixe $A$ ser $-\Delta$ com as condições de Neumann e deixe $B$ ser $-\Delta$com condições de Dirichlet. O$(A+iB)$ é $(-1-i)\Delta$ com domínio $H^2_0(\Omega)$. Seu adjunto é$(-1+i)\Delta$ com domínio $H^2(\Omega)$, que não é o fechamento de $A-iB$.