Pegando derivados dentro de $\inf$

Question

Para convexo $f$, Devo mostrar que

$$g(x) \equiv \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}$$

é convexo. ¹

A resposta dada é reformulada $g$ como uma transformação de perspectiva de $f$. Mas, em vez disso, usei a seguinte abordagem:

$$\begin{align} g(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha} \\ g'(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha f'(\alpha x)}{\alpha} \\& = \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x) \\ g''(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \alpha f''(\alpha x) = 0 \end{align}$$

Desde a $g'' \geq 0$ para todos $x$, $g$ é convexo.

Este raciocínio é válido? Posso pegar derivados "dentro" de$\inf$ como isso?

Observe que, embora haja outras perguntas neste site solicitando a demonstração da convexidade dessa função, minha pergunta é distinta, pois diz respeito à validade da nova prova fornecida acima.

1. Stephen Boyd e Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, exercício 3.31c.

Answer 1

Sua prova não está correta, porque $$g(x)= \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}\not\Rightarrow g'(x)= \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x).$$ Levar $f(x)=x^2$ então $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha^2 x^2}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \alpha x^2=0\implies g'(x)=0.$$ Por outro lado, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x)=\begin{cases} 0&\text{if $x \ geq 0$,}\\ -\infty&\text{if $x <0$.}\\ \end{cases}$$ Outro exemplo: deixe $f(x)=(x+1)^2$. Para$x>0$, $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \left(\alpha x^2 +2x+\frac{1}{\alpha}\right)=4x\implies g'(x)=4.$$ Por outro lado, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x+1)=2.$$