Pêndulo realista, é tão simples?

Question

Estou pesquisando a física do pêndulo para uma aplicação na vida real. Resumindo, preciso ter uma estimativa razoável da tensão horizontal aplicada por um mecanismo giratório apoiado por uma estrutura de madeira.

Comecei com uma representação de pêndulo ideal (corda sem peso + bob de massa $m$, sem amortecimento ou complicações adicionais), embora eu não possa usar uma aproximação de pequeno ângulo.

Da conservação de energia, encontrei a seguinte expressão para a velocidade angular $\omega$ em função do ângulo do pêndulo $\theta$, desde que o pêndulo comece em repouso no ângulo $\theta_0$ e tem comprimento $l$:

$$ \omega = \sqrt{\frac{2g}{l}(\cos(\theta)-\cos(\theta_0))} $$ Então a tensão $T$ sustentado a qualquer momento (ou seja, ângulo) pela estrutura deve ser:
$$T = mg\cos(\theta)+ml\omega^2 = mg(3\cos(\theta)-2\cos(\theta_0))$$

1. Surpreende-me que a tensão não dependa do comprimento do pêndulo, já que o componente centrípeto está relacionado à velocidade tangencial do pêndulo, enquanto a velocidade será claramente afetada pelo comprimento do pêndulo. Algo realmente parece errado aqui.

2. A tensão vista pela estrutura é exatamente radial? Nesse caso, eu poderia simplesmente pegar o seno dele para obter uma estimativa da tensão horizontal?

3. Desde que a derivação esteja correta, ela é consistente com uma configuração de haste rígida em vez de uma corda?

obrigado

Answer 1

1. Se você aumentar o comprimento e manter $\theta_0$constante, o movimento é exatamente o mesmo, exceto que tudo acontece mais lentamente. Então, por que é surpreendente que a tensão dependa apenas do ângulo? Num sentido,$l$ e $g$ apenas defina uma "unidade de tempo" natural - isto é, o período das oscilações.

2. A tensão é exatamente radial, desde que suas suposições estejam exatamente corretas. É claro que nenhuma de suas suposições está exatamente correta na vida real.

3. Depende se você assume que a haste rígida não tem massa ou não. Uma haste pesada rígida terá forças radiais e de cisalhamento que variam ao longo de seu comprimento.