Pergunta sobre aumentar e diminuir as funções

Question

Deixar $f: \Bbb R\rightarrow \Bbb R$ ser uma função diferenciável de forma que $f '(0)=1$ e $f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x\in\Bbb R$. qual dos seguintes é verdadeiro

1. Ambos $f$ e $f '$ estão diminuindo a função
2. Ambos $f$ e $f '$ estão aumentando a função
3. $f$ está aumentando a função, mas $f '$ está diminuindo a função
4. $f$ está diminuindo a função e $f '$ está diminuindo a função

Minha tentativa: eu tentei tomando$x=y$e, em seguida, diferenciando. Eu também tentei colocar ambos$x$ e $y$ igual a $0$.

Answer 1

Diferencie o wrt $x$ para obter $f'(x+y)=f'(x)f(y)$. Colocar$x=0$ agora para obter $f'(y)=f(y)$. Isso implica$f(y)=ce^{y}$ por alguma constante $c$ e isso também implica que $f'=f$. Você pode terminar?

(Você tem que voltar à hipótese para mostrar que $c$ devemos ser $1$)

Answer 2

Um resultado ainda mais geral é válido em relação ao seu problema:

Presumir $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$é contínuo e satisfaz a relação$f(x+y)=f(x)f(y)$ para qualquer $x, y \in \mathbb{R}$. Então existe um número real$a \in \mathbb{R}$ de tal modo que $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$.

Prova. $f$ é um morfismo entre o grupo aditivo $(\mathbb{R}, +)$ e o monóide multiplicativo $(\mathbb{R}, \cdot)$, de onde, em virtude da álgebra elementar, deve ser que $\mathrm{Im}f \subseteq \mathbb{R}^*$(a imagem está incluída no grupo de unidades do monóide alvo). Além disso, para arbitrário$x \in \mathbb{R}$ um tem $f(x)=f(2\frac{x}{2})=f\left(\frac{x}{2}\right)^2 \geqslant 0$ que combinada com a observação anterior significa que $f(x)>0$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ e, portanto $\mathrm{Im}f \subseteq (0, \infty)$. Denotado por$g={}_{(0, \infty)|}f$ a restrição de $f$ para o domínio estritamente positivo.

Deixe-nos apresentar o mapa $h=\mathrm{ln} \circ g$. Uma vez que o logaritmo natural é um morfismo contínuo do grupo multiplicativo$\left(\mathbb{R}^*_{+}, \cdot\right)$ para o grupo aditivo $(\mathbb{R}, +)$ e $g$ também é um morfismo de grupo contínuo, sua composição $h$ também será um morfismo de grupo contínuo de $(\mathbb{R}, +)$ para si mesmo (em outras palavras, um endomorfismo do grupo aditivo mencionado).

No entanto, é um fato clássico que qualquer endomorfismo contínuo do grupo $(\mathbb{R}, +)$ é da forma $x \mapsto tx$ por um certo $t \in \mathbb{R}$. Isso significa, em particular, que existe$a \in \mathbb{R}$ de tal modo que $h(x)=ax$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$. Relembrando a definição de$h$, isso envolve $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$. $\Box$

Voltando ao caso particular do seu problema e adicionando a hipótese de que $f'(0)=1$, Desde a $f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ você pode inferir imediatamente que $a=1$ e assim $f$ é a função exponencial de base $\mathrm{e}$.