Pergunta sobre o processo de Poisson do Call Center

Question

As chamadas chegam a um call center de acordo com um processo de Poisson com taxa $\lambda = 3$ por minuto.

Suponha que tenha havido exatamente 60 chamadas entre 12h e 12h30. Com essas informações, calcule a probabilidade de pelo menos 60 chamadas entre 12h30 e 13h.

Estou tentando entender o Processo de Poisson. Uma vez que os eventos em intervalos de tempo disjuntos são independentes, seria$P(X \ge 60 \mid Y = 60) = P(X \ge 60)*P(Y=60)/P(Y=60)$? Estou adotando a abordagem certa ou há algo que estou perdendo?

Answer 1

Como @ DavidG.Stork Comments, você pode ignorar o que aconteceu antes das 12:30, contanto que não esteja usando essa informação para estimar $\lambda.$

Portanto, deixe $X \sim \mathsf{Pois}(\lambda = 90),$ onde a taxa $\lambda = 90$= (30 min) (3 / min). Então você quer$P(X \ge 60) = 0.99967.$

Você pode obter essa resposta exata usando R, onde ppoisé um CDF de Poisson, conforme mostrado abaixo. Algumas calculadoras estatísticas podem fazer essencialmente a mesma computação.

1 - ppois(59, 90)
[1] 0.9996747

Você pode tentar uma aproximação normal para esta distribuição de Poisson, $\mathsf{Norm}(\mu = 90, \sigma=\sqrt{90}),$ padronizar e usar tabelas impressas de CDF de normal padrão para obter uma aproximação normal razoável (com correção de continuidade).

A aproximação normal de R, onde pnormé um CDF normal, conforme mostrado abaixo:

1 - pnorm(59.5, 90, sqrt(90))
[1] 0.9993477

Usando tabelas normais, você obteria uma versão um pouco menos precisa dessa aproximação, porque alguns erros de arredondamento estão envolvidos no uso de tal tabela.

A figura abaixo, compara $\mathsf{Pois}(\lambda=90),$ centros de círculos vermelhos, com a função de densidade de $\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=\sqrt{90}).$

Código R para figura:

 curve(dnorm(x, 90, sqrt(90)), 0, 140, lwd=2, ylab="PDF", main="")
 abline(v=0, col="green2")
 abline(h=0, col="green2")
 k = 0:140; pdf=dpois(k, 90)
 points(k, pdf, col="red")
 abline(v = 59.5, col="blue", lwd=2, lty="dotted")