permutação de conjuntos
Eu tenho uma pergunta sobre a permutação de conjuntos e é:
Problema: deixe o espaço da amostra$X$ ser o conjunto de permutações de $\{1,2,3,4,5\}$, a permutação $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ representa a alocação de objetos onde para $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ temos $n_i=j$ se pessoa $i$ recebe o objeto por pessoa $j$. além disso$i\in \{1,2,3,4,5\}$. Se definirmos os eventos:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
Minhas confusões: Não entendo como listar esses elementos sob o conjunto definido de características de elemento que este conjunto tem, por exemplo, no espaço de amostra$X$, posso $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
Se não, então os valores $n_1$, $n_2$, ... pode levar são $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ etc. Portanto, um elemento possível do espaço amostral é $(2,3,4,5,1)\in X?$.
Mas no set $A_i,$ agora há uma nova condição que é $n_i=i$, isso significa que o conjunto $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. Estou um pouco confuso sobre a definição de$n_i=i$ no set $A_i,$ e quantos elementos $A_1, A_2,...,A_5$contém. Alguém pode me ajudar a explicar ou encontrar os elementos do conjunto$A_i$, ou apenas um exemplo para$ A_1$ e $A_2?$ Eu adoraria isso.
Respostas
Usando a definição de uma permutação como uma função bijetivo de um conjunto para si mesmo ( ao invés da definição relacionada de cadeias de caracteres, cada caractere sendo usado uma vez, etc ... ), temos que$A_1$ é o conjunto de permutações de $\{1,2,3,4,5\}$ de tal modo que $1$ está mapeado para $1$.
Equivalentemente, usando a definição de permutações como strings de caracteres, $A_1$ é o conjunto de permutações de $\{1,2,3,4,5\}$ de tal modo que $1$ está na primeira posição.
Isso inclui, mas não está limitado a $12345, 13524, 15243,\dots$ e não inclui coisas como $23451$ ou $54321$ Desde a $1$ não está na primeira posição e, além disso, não inclui coisas como $11111$ ou $67890$ uma vez que estas não são permutações de $\{1,2,3,4,5\}$( o primeiro não é uma permutação, pois cada caractere só pode ser usado exatamente uma vez e o segundo falhou porque os caracteres usados não são do conjunto de base correto. equivalentemente, o primeiro não era bijetivo e o segundo tinha o codomínio errado )
Vale a pena falar então sobre coisas como $A_1\cap A_2$que são aquelas permutações que simultaneamente têm o primeiro e o segundo termos como pontos fixos ... contendo coisas como$12345, 12543, 12453,\dots$, a primeira posição sendo necessariamente um $1$ e a segunda posição sendo necessariamente um $2$.
Também vale a pena olhar para $A_1^c$, o conjunto de permutações tais que $1$não é um ponto fixo.
Finalmente, de considerável importância é o conjunto $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, o conjunto de permutações em $\{1,2,3,4,5\}$de modo que nenhum dos elementos são pontos fixos. Chamamos uma permutação sem pontos fixos de desarranjo .
Quanto a contá-los, por $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$abordagem diretamente com a regra do produto como de costume. Para aquelas posições cujos valores não são forçados, escolha o elemento que aparece naquela posição e anote quantas opções você deu anteriormente a tais seleções. Você tem isso$|A_1|=4!$ este $|A_1\cap A_2|=3!$ e assim por diante.
Essas observações, juntamente com a inclusão-exclusão, permitirão até que você calcule o número de desarranjos, algo que deixo para você terminar por conta própria ou ler no artigo vinculado. Eu suspeito fortemente que calcular o número de perturbações pode até mesmo ser uma parte posterior da questão atual em que você está trabalhando ou uma questão a ser feita logo após completar esta, uma vez que eles estão intimamente relacionados.
Não, note que $i$é definido fora da caracterização do conjunto. Significa que$i$é fixo para cada conjunto. então$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$ Além disso, observe que a tupla deve estar em $X,$ e $(1,1,1,1,1)$não é uma permutação.
Não está claro se por permutação você quer dizer que deve usar todos os elementos em$\{1,2,3,4,5\}.$ Se sim, você obterá $(5-1)!$ como o número de elementos em $A_1$ porque você está consertando o primeiro e então você tem $4$ escolhas para o segundo, e então $3$escolhas ...
Se você permitir a repetição, então você terá$5$ escolhas em cada um dos restantes $4$ posições, então você vai acabar tendo $5^4$ elementos em $A_1.$