Por quê $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Meu problema:

Suponha $\mathcal{E}$ e $\mathcal{H}$ são sub-$\sigma$-álgebras do $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Deixei$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Suponha que$\mathcal{E}$ é independente de $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Então $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Minha tentativa:

Eu tentei usar a caracterização $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ para todos $\mathcal{H}$- variável aleatória mensurável e limitada ou $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ para todos $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-variável aleatória mensurável e limitada.

Answer 1

Este é um resultado muito conhecido por Doob.

Teorema: Let$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ e $\mathscr{C}$ ser sub--$\sigma$--álgebras de $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ sse $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ para todos $A\in \mathscr{A}$.

Aqui está uma prova de tiro:

Suponha que $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ são condicionais independentes dados $\mathscr{C}$, isso é $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ para todos $A\in \mathscr{A}$ e $B\in \mathscr{B}$. Então, para qualquer$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ e $C\in\mathscr{C}$ temos $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Desde a $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, um argumento de classe monótono mostra que $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ para todos $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Isso significa que$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Por outro lado, suponha que $\eqref{doob-independence}$detém. Para qualquer$A\in\mathscr{A}$ e $B\in\mathscr{B}$ temos \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Isto mostra que $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ são independentes, dado $\mathscr{C}$.

A extensão para variáveis ​​aleatórias é feita expandindo primeiro para funções simples e então pela aproximação monótona usual por funções simples.