Porque é $e$irracional? [duplicado]

Question

Não procuro uma prova, mas sim uma explicação, porque sei que há algo errado com o meu pensamento.

Então, eu sei que $$ e = \lim_{n\to\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n $$ E também $$ e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} $$

E estou confuso quanto ao porquê $e$ pode ser irracional, uma vez que ambas as definições são um número racional (?).

Eu sei que a adição em racionais é fechada, então estou confuso, pois ambos podem ser reorganizados em algo com racionais (por exemplo, soma de racionais, ou $(\dfrac{n+1}{n})^n$), então acho que minha pergunta é: por que esses racionais convergem para um irracional?

Obrigado.

Answer 1

O erro está na afirmação de que “ambas as definições são um número racional”. Não é verdade. Ambos expressam$e$como um limite de uma sequência de números racionais. Seu erro está na suposição oculta (e falsa) de que o limite de uma sequência convergente de números racionais também deve ser racional.

Answer 2

O fato de os racionais serem fechados sob adição significa que a soma de quaisquer dois racionais é novamente um racional. Por indução, você pode provar que isso funciona para qualquer número finito de racionais. Mas os racionais não estão fechados em somas infinitas.

Answer 3

Só porque toda soma parcial (finita) é um número racional, isso não significa que o limite seja.

Pegue a constante conhecida como exemplo: $\pi = 3+0.1+0.04+...$

Cada soma parcial é racional, mas o limite é um número irracional bem conhecido.

Da mesma forma, para cada número natural finito $n$, $1/n > 0$ mas o limite $\lim_{n\to\infty} 1/n \not > 0$.