Positividade de um operador
Considere uma função$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$de aula$C^1$. Se$f(0)=0$e$f'(0)>0$é claro que existem alguns$t_0>0$de tal modo que$f(t_0)>0$.
Agora se$f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$de aula$C^1$, Onde$\mathcal{M}^{n\times n}$são reais$n\times n$matrizes, se$f(0)=0$e se$f'(0)$é uma matriz definida estritamente positiva, novamente haverá um$t_0$de tal modo que$f(t_0)$é uma matriz definida estritamente positiva.
A questão é: isso é verdade mesmo para as operadoras? Em particular, deixe$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$de aula$C^1$, Onde$\mathcal{O}$é o conjunto de operadores auto-adjuntos compactos em algum espaço de Hilbert separável$\mathcal{H}$. Deixar$f(0)=0$e suponha que$f'(0)$é um operador auto-adjunto positivo compacto, é verdade que deve haver um$t_0$de tal modo que$f(t_0)$é positivo?
Respostas
Não. Contra-exemplo: Deixe$H = \ell^2$e$M : H \to H$ser dado por
$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$
Então$M$é compacto (limites de operadores de postos finitos), auto-adjunto e positivo. Próximo vamos$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$seja uma função ímpar suave tal que
- $\varphi(t) = t$sobre$[-1,1]$,
- $|\varphi (t)|\le 1.1$
- $\varphi$está diminuindo em$[1.1, 2]$e
- $ \varphi(t) = 0$sobre$[2, \infty)$.
Para cada$n$, definir$\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Definir$ M_t:=f(t)$por$$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$
Então$M_0 = 0$e cada um$M_t$é auto-adjunto, posto finito (portanto, não positivo). Também,$f$é$C^1$. De fato, pode-se verificar que$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$Desde$\varphi_n'(0)=1$para todos$n$, temos$f'(0) = M$.