Precisão da previsão de volatilidade
Eu entendo o conceito básico dos modelos ARCH / GARCH e a matemática básica por trás deles. Ou seja, modela-se a "volatilidade" de uma série temporal, ou seja, os resíduos de um modelo de descrição de série temporal, que por sua vez permite a previsão da volatilidade.
No entanto, como a previsão de volatilidade é avaliada? Em uma configuração de média condicional, basta comparar o valor real com o valor previsto. Em um cenário de volatilidade condicional, o que está sendo comparado? A diferença entre os valores citados e o residual previsto?
Nesse caso, posso teoricamente imaginar um cenário em que o resíduo está sempre sendo previsto corretamente, o que implica que a previsão pontual está sempre errada (se o resíduo for maior que zero). Este pode não ser o método de avaliação correto, pois é fortemente dependente de quão enviesada é a previsão pontual. Mas como avaliamos corretamente as previsões ARCH / GARCH?
Respostas
O objetivo da previsão de volatilidade é prever a densidade preditiva total. Por exemplo, você pode assumir uma densidade futura normal com média zero e prever o único parâmetro livre, que por acaso é a variância. Ou use alguma abordagem não paramétrica.
O método de escolha para avaliar densidades preditivas é uma regra de pontuação adequada . Temos uma etiqueta de regras de pontuação . Seu tag wiki contém algumas dicas para a literatura.
Como exemplo, eu escolhi aleatoriamente o primeiro artigo relevante na edição atual do International Journal of Forecasting , que por acaso foi "Previsão de volatilidade com alavancagem variável no tempo e volatilidade dos efeitos de volatilidade" por Catania & Proietti (2020, IJF ) . Eles usam a pontuação de probabilidade classificada contínua (CRPS), que é uma regra de pontuação adequada muito comumente usada.
Falando sobre a avaliação das previsões de volatilidade em geral (não GARCH em específico), mencionarei uma alternativa à resposta de Stephan Kolassa.
Também é possível estudar regras de pontuação adequadas para estatísticas ou "propriedades" de distribuições; esta área é às vezes chamada de elicitação. Lá, pode-se fazer a seguinte pergunta: Existe uma regra de pontuação "adequada"$S(v, y)$ que avalia uma previsão $v$da variância de uma variável aleatória usando uma amostra$y$? Aqui, a noção de adequado deve ser que a pontuação esperada é maximizada quando$v$ é a verdadeira variação.
Acontece que a resposta é não. No entanto, existe um truque. Certamente existe uma regra de pontuação para a média, por exemplo$S(u, y) = - (u - y)^2$. Segue-se que existe uma regra de pontuação para o segundo momento (não centrado), por exemplo$S(w, y) = - (w - y^2)^2$.
Portanto, para avaliar uma previsão de variância de forma imparcial, basta, neste caso, consultar a previsão para apenas dois parâmetros, o primeiro e o segundo momentos, que determinam a variância. Em outras palavras, não é realmente necessário produzir e avaliar a distribuição completa. (Esta é basicamente a sua proposta: primeiro avaliamos a média condicional e, em seguida, o residual, aproximadamente.)
Existem, é claro, outras medidas de volatilidade além da variância, e há pesquisas sobre se elas são "diretamente elicitáveis" (ou seja, existe uma regra de pontuação adequada que as elicia) ou, se não, sua "complexidade de elicitação" (ou seja, quantos parâmetros devem ser extraído da distribuição subjacente para avaliá-la). Um lugar onde isso é estudado é para medidas de risco em finanças. As estatísticas estudadas incluem expectativas, valor em risco e valor em risco condicional.
Há alguma discussão geral em Gneiting, Making and Evaluating Point Forecasts , Journal of the American Statistical Association (2011).https://arxiv.org/abs/0912.0902. A complexidade da elicitação é estudada em Frongillo e Kash, Vector Valued Property Elicitation , Conference on Learning Theory (COLT, 2015).http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html
Talvez manter as coisas o mais simples possível é o que shenflow está procurando. Então:
Mas como avaliamos corretamente as previsões ARCH / GARCH?
As coisas não são tão diferentes do que no caso médio condicional, como ARMA. O truque é que você precisa se preocupar com o que tenta prever.
Por exemplo, com retornos financeiros ($r_t$) é comum para identificar a volatilidade como os retornos quadrados, digamos $r_t^2$. Agora, um modelo como ARCH / GARCH fornece uma especificação para variância condicional:$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$
Por exemplo, no caso ARCH (1), temos $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 $
Então, para avaliar a precisão da previsão, você deve comparar a variância condicional (previsão de volatilidade) com o retorno ao quadrado (volatilidade observada). Então, para avaliação de precisão, a perda quadrada média é comum. No caso ARCH (1):
$ MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)] $ para alguns $t$
Observe que por trás deste exemplo, há a suposição de média condicional zero para $r_t$. Caso contrário, mesmo que a ideia não seja tão diferente, os segundos momentos e variações não coincidem e as coisas ficam mais complicadas.