Preço da opção vs. volatilidade implícita

Question

Eu estava fazendo um exercício de investigação da relação entre o preço da opção de compra europeia e sua volatilidade. Me pediram para computar$\frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2}$ e descobrir o domínio de $\sigma$ em que o preço da opção $C$ é convexo.

Eu peguei a derivada de segunda ordem, conforme mostrado: $$ \frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2} = Vega \cdot \frac{d_1d_2}{\sigma}, $$ Onde $d_1, d_2$são os parâmetros da fórmula de Black Scholes. Para encontrar o domínio necessário, deixo que a derivada de segunda ordem seja não negativa e defendo que$Vega$ é sempre não negativo, então eu preciso $d_1$ e $d_2$ com o mesmo sinal.

Não tenho certeza se minha abordagem está correta ou não, uma vez que obtive um intervalo bastante estranho para $\sigma$: $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(\log S_t/K + r(T-t))}{T-t}}, $$ ou $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(-\log S_t/K - r(T-t))}{T-t}}. $$

Answer 1

Eu acho que é interessante olhar para esse problema graficamente também. Eu obtenho uma resposta diferente, dependendo se a opção é ITM, ATM ou OTM. No gráfico abaixo, todas as opções têm expiração de 1 ano, as taxas são definidas como 0,01 e spot é 100. A chamada ITM tem strike 80, a chamada ATM tem strike 100 e a chamada OTM tem strike 150. Eu adicionei uma função linear ( y = 40 * vol) para comparação na cor amarela. Isso é o que eu recebo:

Para completar, podemos mostrar que as opções de ATM são côncavas para todos os valores de IV, como o gráfico acima faz alusão a:

Para ligações e entradas: $ Vega(t)=S_t N'(d1)\sqrt{\tau} $

Para opções de caixa eletrônico: $d1=0.5\sigma \sqrt{\tau}$

NTS: $\frac{\partial}{\partial \sigma} Vega(t) < 0 \forall \sigma$:

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( S_t N'(d1)\sqrt{\tau} \right) = S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) =\\= S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial d1} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) \frac{\partial d1}{\partial \sigma}=\\= S_t \sqrt{\tau} (-d1)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right)0.5\sqrt{\tau}=\\=-0.25S_t\sigma\tau^{\frac{3}{2}} N'(0.5\sigma \sqrt{\tau}) $$

Por causa do $-0.25$ coeficiente acima, a função é negativa $\forall$ positivo $\sigma$, o que prova o resultado necessário, tanto para chamadas quanto para inserções.

Answer 2

Para adicionar a resposta de @Jan Stuller, as opções de ATM são muito próximas de lineares em volatilidade no modelo BS (e exatamente lineares no modelo normalizado de Bachelier). As opções fora do strike são positivamente convexas em volatilidade (observe que OTM vs ITM não faz diferença, apenas a distância do strike). A exceção é que em BS em vols log-normais muito altos, há alguma convexidade negativa devido ao fato de que os preços das chamadas são limitados no lado positivo pelo preço das ações. Em modelos normais, as opções de OTM são convexidade estritamente positiva em vol.