Probabilidade ao escolher contas com repetições

Question

Existem 20 contas diferentes , 4 das quais são amarelas . Escolhendo 30 contas com repetições, preciso calcular:

1. A probabilidade de que exatamente 5 das contas escolhidas sejam amarelas
2. A probabilidade de que a primeira e a última contas sejam amarelas e exatamente 5 contas amarelas tenham sido escolhidas (incluindo a primeira e a última contas)

O primeiro eu calculei dizendo que há $4^5$ maneiras de escolher 5 contas amarelas e $16^{25}$ maneiras de escolher o resto daí $$P_1 = \frac{4^5\cdot 16^{25}}{20^{30}}=\frac{4^{55}}{4^{30}\cdot5^{30}}=(0.8)^{25}\cdot(0.2)^{5}$$ Quanto à segunda probabilidade, primeiro tentei escolher $\binom{5}{2}$ contas amarelas para o primeiro e o último e depois multiplicar por 2, pois podem mudar de lugar e novamente multiplicar pela permutação das contas restantes $28!$ conseqüentemente $$P_2 = P_1\cdot\frac{\binom{5}{2}\cdot2\cdot28!}{30!}$$mas isso é incorreto porque há repetições. Portanto, a segunda tentativa foi escolher a primeira e a última conta amarela, que pode ser feita em$5^2$ e depois $$P_2 = P_1\cdot\frac{5^2\cdot28!}{30!}$$mas isso também parece errado. Minha intuição diz que a probabilidade entre 1 e 2 permanece a mesma, mas não encontrei uma maneira de provar (ou refutar) isso

Answer 1

Porque somos questionados sobre a probabilidade, e não sobre o número de combinações, e porque estamos escolhendo com repetições - podemos ignorar a identidade das contas individuais e, em vez disso, tratar cada escolha como um $\frac{4}{20} = 20\%$ probabilidade de escolher amarelo e $80\%$ probabilidade de escolher não amarelo.

Para qualquer escolha dos 5 lugares onde as contas amarelas são escolhidas, a probabilidade de escolhê-la $$ 0.2^5\cdot 0.8^{25} = \frac{2^5\cdot 8^{25}}{10^5\cdot 10^{25}} = \frac{2^5\cdot 2^{75}}{10^5\cdot 10^{25}} = \frac{2^{80}}{10^{30}} $$

Visto que cada caso é separado dos outros, podemos calcular quantas maneiras existem para escolher esses 5 lugares e multiplicar: $$\boxed{ \frac{2^{80}}{10^{30}} \cdot \binom{30}{5} = \frac{2^{80}}{10^{30}} \cdot \frac{30!}{5!\cdot 25!} \approx 17.2279\% }$$

Para o segundo, o primeiro e o último lugares sempre têm contas amarelas, então escolhemos apenas 3 lugares de 28: $$\boxed{ \frac{2^{80}}{10^{30}} \cdot \binom{28}{3} = \frac{2^{80}}{10^{30}} \cdot \frac{28!}{3!\cdot 25!} \approx 0.396\% }$$

Answer 2

Não concordo com a solução postada.

1. é um binômio $X\sim B(30;\frac{4}{20})$

Assim, a solução é

$$\mathbb{P}[X=5]=\binom{30}{5}\Big(\frac{4}{20}\Big)^5\Big(\frac{16}{20}\Big)^{25}\approx 17.23\%$$

2

$$\mathbb{P}[X=5, \text{ first and last Yellow}]=\binom{28}{3}\Big(\frac{4}{20}\Big)^5\Big(\frac{16}{20}\Big)^{25}\approx 0.40\%$$

Isso porque, excluindo o primeiro e o último Amarelo com probabilidade $\Big(\frac{4}{20}\Big)^2$ o restante $n=28$ sorteios podem ser representados por um binômio $Y\sim B(28;\frac{4}{20})$ e você tem que calcular

$\Big(\frac{4}{20}\Big)^2\times \mathbb{P}[Y=3]$