probabilidade e expectativa pergunta do livro IMO

Question

Eu estava tentando resolver esse problema, mas não entendi a solução quando a vi.

Problema: Existem$8$meninas e$7$meninos em uma festa social, sentados ao redor de uma mesa redonda. Se todas as meninas se sentarem juntas, haverá apenas duas meninas adjacentes aos meninos. Se meninas e meninos sentam-se o mais alternadamente possível, então há$14$pares de assentos adjacentes para meninos e meninas. Quantos pares de assentos existem, em média, adjacentes a meninos e meninas?

Comentários: Meu problema é que, quando olhei para a solução, não entendi por que eles levaram a probabilidade de$1$par e multiplicado por$15$(o número total de assentos). Não estou convencido de que o fato de ter um par em um assento seja independente de ter um par em outro assento, pois a quantidade de meninos/meninas restantes é diferente.

Alguém pode me ajudar a entender o que há de errado com meu raciocínio e por que a probabilidade de assento$i,j$tendo um par independente do assento$j,j+1$ter um par?

Answer 1

Deixar$A$ser o grupo abeliano cíclico$\Bbb Z/15$com$15$elementos. Considere o espaço$\Omega$de tudo$\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, para que$\sum \omega=8$. Aqui nos identificamos$\omega$com uma tupla$(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$e$\sum\omega$é a soma dos componentes de$\omega$. Definimos as variáveis ​​aleatórias$X_a$por$a\in A$definido por$X_a(\omega)=\omega_a$.

(Consideramos uma menina para corresponder a um$1$entrada em$\omega$, um menino para um$0$entrada e use a ordem cíclica dos índices para deixá-los sentar na mesma ordem ciclicamente ao redor da mesa redonda.)

A função que dá o número de pares adjacentes$01$e/ou$10$é a variável aleatória$Z$...$$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$a última linha usando a simetria cíclica em$\Omega$induzida pela ação de$A$.

Este argumento "desagrega" a informação e nos permite olhar apenas para os assentos rotulados$0$e$1$.