Problema combinatório: problema do vencedor do concurso

Question

Tenho este problema para resolver onde: Existe um concurso entre $m$concorrentes. Cada competidor desenha um número entre$1$ para $N$ separadamente, e o vencedor é aquele que tirou o maior número.

O problema que estou tendo é descobrir a probabilidade de o concurso falhar. O concurso fracassa quando não há um único vencedor - dois ou mais concorrentes tiraram o mesmo número e esse número foi o mais alto de todos os outros números que foram sorteados. Geralmente, sacar o mesmo número não é um problema, desde que haja um competidor que sacou mais alto.

Calculei a probabilidade de que dois ou mais concorrentes tirassem o mesmo número usando a probabilidade do complemento:

$$ \begin{multline} 1 - P(\text{all m contestants drew different number}) = 1 - \frac{N!}{(N-m)!} \frac{1}{N^m} \end{multline} $$

Estou certo? Estou perdendo a parte em que o número sorteado foi o mais alto.

Agradecemos sua ajuda, desde já.

Answer 1

De quantas maneiras a pontuação mais alta pode ser $k$e só aparece uma vez? tem$m$ maneiras de selecionar quem obteve essa pontuação e $(k-1)^{m-1}$ maneiras de selecionar as pontuações das outras pessoas.

Concluímos que existem $\sum\limits_{k=1}^n (k-1)^{m-1}m$ cenários possíveis no total.