Problema de coeficiente na aula $\Sigma$

Question

Deixei $\Sigma$ ser a classe de funções holomórficas univalentes (injetivas) em $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ Onde $\mathbb{D}$é o disco da unidade fechada. Análogo à famosa conjectura de Bieberbach é o problema de encontrar limites agudos para o coeficiente$b_n$ das funções $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ dentro $\Sigma.$No entanto, este problema é significativamente mais complicado do que a conjectura de Bieberbach, uma vez que não há bons candidatos para as funções extremas aqui. A conjectura inicial$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ é falso e, tanto quanto eu sei, só conseguimos os limites acentuados para $b_2$ et $b_3$, a saber $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Existem também alguns teoremas que fornecem mais informações se adicionarmos condições extras na função $g$mas esses não me interessam aqui. Minha pergunta é bem geral:

Quais são os resultados recentes sobre os limites agudos dos coeficientes $b_n$no caso geral? Por exemplo, nós sabemos disso por$|b_4|$ou ainda estamos presos? Há algum novo candidato para as funções extremas?

Surpreendentemente, essas informações são difíceis de obter na literatura, uma vez que $\Sigma$ é muito menos estudado do que $\mathcal{S}$. Obrigado por qualquer ajuda.

Answer 1

Os últimos resultados não são muito recentes. A maioria deles é mencionada no jornal

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. On coeficiente de problemas para funções univalentes e dimensão conforme. Duke Math. J. 66 (1992), no. 2, 169–206.

Deixei $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. A questão é sobre a ordem de diminuição de$B_n$. Uma estimativa fácil é$B_n\leq n^{-1/2}$, e o antigo resultado de Clunie e Pommerenke diz $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Não tenho certeza se isso alguma vez melhorou, se foi, muito pouco. Carleson e Jones provaram que$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$existe. (Então, por Clunie-Pommerenke,$\gamma>0.5$) As funções extremas são mapas aparentemente conformes em complementos de alguns conjuntos de Julia ou outros fractais auto-semelhantes. Usando conjuntos de Julia, Carleson e Jones foram capazes de mostrar que$\gamma\leq 0.79$, (assistido por computador), e conjeturou que de fato $\gamma=3/4$. Provavelmente, essa conjectura não foi publicada, mas foi discutida entre os especialistas nos anos 1990. Não sei de nenhum progresso substancial desde então.