Problema de contagem de pôquer

Question

No Poker, eu recebo $2$ cartas e eles são um par de $8$s. Quais são as chances de eu conseguir, apenas um par, 2 pares e uma trinca (mas nada mais alto) enquanto as outras três cartas são colocadas?

Eu resolvi esse problema apenas para o par: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$que precisamos apenas escolher três cartas e escolher naipes aleatórios para elas. Não precisamos escolher um terno para o nosso$8$é porque já os temos?

A segunda parte, uma vez que já temos um par, para conseguir dois pares: $\binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}$ escolhemos dois naipes para as duas cartas do mesmo valor e, em seguida, escolhemos apenas uma carta aleatória que não seja do mesmo valor do primeiro ou do segundo par.

Para a última parte, uma vez que já temos um par: $\binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ escolhemos uma carta do mesmo valor do nosso par, escolhemos seu naipe e, em seguida, escolhemos duas cartas aleatórias e escolhemos seus naipes.

Portanto, o número de maneiras é: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1} + \binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Não sou muito bom em contar e continuo praticando, então é por isso que estou perguntando se minha lógica está certa para isso? Pois já ter um par é legal e me dá uma nova perspectiva de como funcionam os problemas de contagem.

Answer 1

O que você fez foi uma tentativa de contar o número de possibilidades para cada resultado.

A primeira é correta: escolha três classificações diferentes que não são $8$e escolha o terno para cada um.

A segunda também está correta: escolha uma classificação que não seja $8$ para o segundo par, escolha os naipes para cada carta do segundo par e uma terceira carta de valor diferente e seu naipe.

Para o terceiro: Escolha outro $8$ (há duas opções restantes para escolher) e, em seguida, duas classificações diferentes, qualquer naipe: $2 \times {12 \choose 2} \times 4 \times 4$.

Finalmente, para obter a probabilidade de cada um, você divide pelo número total de maneiras que pode escolher três das restantes$50$cartões sem quaisquer restrições. Isto é simplesmente${50 \choose 3}$.

Um exemplo mais simples de por que você divide é rolar um número par em um dado de seis lados. Existem três números pares entre$1$ e $6$, e há um total de $6$Possíveis resultados. Então, a probabilidade é$3/6 = 1/2$.