Problema de Sylvester.

Question

Um conjunto finito $S$de pontos em um plano tem a propriedade de que uma linha passando por dois desses pontos passe por um terceiro ponto. Prove que todos os pontos em$S$ são colineares.

Eu vi uma prova desse problema usando o princípio extremo.

Suponha que os pontos não sejam colineares. Entre pares$(p,L)$ consistindo em uma linha $L$ e um ponto fora dessa linha, escolhemos um que minimiza a distância $d$ de $p$ para $L$. Deixei$f$ ser o pé da perpendicular de $p$ para $L$. Existem (por suposição) pelo menos três pontos$a,b,c$ em $L$. Este, dois destes, dizem$a$ e $b$ estão do mesmo lado de $f$. Deixei$b $ estar mais perto de $f$ do que $a$. Então a distância de$b$ para a linha $ap$ é menos do que $d$. Contradição.

Minha pergunta está na última parte. Não entendo como "Então a distância de$b$ para a linha $ap$ é menos do que $d$. "produz uma contradição. Alguém pode explicar?

Answer 1

No início da prova escolhemos $(p,L)$ tal que a distância $d$ entre $p$ e $L$ é mínimo entre todas as linhas e pontos fora dessa linha.

A contradição surge quando produzimos o par $(b, ap)$ com uma distância menor que $d$, que contradiz a condição de minimalidade em $(p,L)$.

"Geometria" pode ser uma etiqueta.

EDITAR: como por quê $b$ está mais perto de $ap$ do que $p$ é para $L$, considere o triângulo retângulo $\triangle afp$.

$b$ está do lado $af$. Sua distância da linha$ap$ não pode exceder a altura de $\triangle afp$ com base $ap$.

Desde a $ap$ é a hipotenusa, $ap > af$.

Considerando a área de $\triangle afp$, vemos que a altura de $\triangle afp$ com base $ap$ é menor que a altura de $\triangle afp$ com base $af$, qual é $fp = d$.

Isso dá o resultado desejado: a distância de $b$ de $ap$ é menos do que $d$.

Answer 2

Para uma explicação visual de por que a distância de $B$ para $AP$é menor, aqui está uma ilustração. Coloquei todas as etiquetas de pontos em maiúscula e adicionei$G$ e $H$, que são os pés das perpendiculares de $B$ e $F$ para a linha $AP$, respectivamente. Deve ficar claro que$PF > FH > BG$. A prova formal usa triângulos e proporções semelhantes.