Problema nas representações de $D_4$

Question

Problema

Deixei $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ e $V=\mathbb{C}^2$ com bases $\{e_1,e_2\}$. Nós vemos$V$ como um $\mathbb{C}G-$módulo com ação $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ e $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Calcule o personagem $\chi_V$ e mostrar que o $\mathbb{C}G-$módulo $V$ é irredutível.

eu achei aquilo $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ e essa $[\chi_V,\chi_V]=1$ daí o $\mathbb{C}G-$módulo $V$ é irredutível.

1. Examine se $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ tem um $\mathbb{C}G-$submódulo isomórfico para $\mathbb{C}G$.
2. Para cada $n\ge1$ nós temos o $\mathbb{C}G-$módulo $V_n=V^{\otimes n}$. Encontrar tudo$n$ para o qual existe $w\in V_n$ st $w\not=0$ e $gw=w,\ \forall g\in G$.

Eu tenho que encontrar $n$ st $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. eu sei que$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Então tem que ser$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) É minha abordagem em $1,3$ corrigir?

(b) Quaisquer ideias para $2$?

(c) Existe um método geral para ver se um módulo $A$ contém uma imagem isomórfica de um módulo $B$usando personagens? Em particular, como eu poderia determinar se para um$\mathbb{C}G-$ módulo $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ contém um $\mathbb{C}G-$ submódulo isomórfico para $V$?

Desde já, obrigado!

Answer 1

1. Mostrando $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ está bem.

2. Em geral, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. É só porque$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, então o produto escalar simplesmente seleciona $\chi_V(1) = \dim V$. Este exemplo mostra que de fato$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ não preciso dizer muito sobre se ou não $V$ contém $W$. Também mostra que$V$ contém $\mathbb{C}G$ se e somente se para todos os irredutíveis $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Esta última condição é obviamente fácil de verificar se você souber tudo$\chi_W$de forma explícita e, para um grupo tão pequeno, você pode resolvê-los manualmente.

3. Informática $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ é ótimo.

Neste caso particular, é fácil ver $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, assim $V \otimes V$ não contém o irredutível $V$, então não pode conter $\mathbb{C}G$ e você não precisa verificar nenhuma outra desigualdade ou procurar outros caracteres irredutíveis.