Processo estacionário com sazonalidade e tendência?
Embora eu tenha lido muitas afirmações e afirmações de que sazonalidade ou tendências são indicadores de que uma série temporal não é estacionária, não entendo muito bem por quê. Na verdade, tenho uma construção do que considero um processo estacionário com um período / tendência.
Assim, as séries temporais com tendências, ou com sazonalidade, não são estacionárias - a tendência e a sazonalidade afetarão o valor da série temporal em momentos diferentes.
- Previsão: Princípios e Práticas de Rob J Hyndman e George Athanasopoulos
Considere uma função periódica $g$ com período $P$. E se$y$ é uniformemente distribuído de $0$ para $P$, e $\epsilon_t$ é ruído branco, então $X_t = g(t+y)+\epsilon_t$ é estacionário, porque se você tiver algum tempo $t$, não há como saber exatamente onde você está na temporada. Mas qualquer realização particular do processo exibiria definitivamente "sazonalidade".
Para ser um pouco mais rigoroso, $E[g(t+y)] = \frac{1}{P} \int_0^P g(t+y) dy = \frac{1}{P} \int_t^{t+P} g(u) du$. Por periodicidade de$g$, este é o mesmo que $\frac{1}{P}\int_0^P g(u) du$, que não depende de $t$. então$E[X_t]$é constante. O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que a variância e as autocovariâncias também são constantes - simplesmente diminua$g(t+y)^2$ ou $g(t+y)g(t+y+k)$ no lugar de $g(t+y)$.
Como outro exemplo, considere uma função $f(t)$retirado de um anterior adequado - por exemplo, um processo gaussiano padrão. Então$X_t = f(t)+ \epsilon_t$ também é estacionário, apesar do fato de que $f$é definitivamente uma tendência. (Pelo menos, se um kernel gaussiano for usado e a escala de comprimento for grande em comparação com a série de tempo observada, é possível ou mesmo provável que uma tendência consistente para baixo ou para cima esteja presente em todos os dados observados).
Novamente, para ser um pouco mais preciso, para um processo gaussiano padrão com kernel gaussiano, a expectativa é 0 em todos os lugares e desde que o kernel gaussiano $K(x, x')$ depende apenas da diferença $x-x'$, a covariância também é invariante ao deslocamento.
Para um fixo $y$ ou um fixo $f(t)$, esses exemplos obviamente não seriam fixos, mas não vejo nenhuma razão para que devam ser corrigidos.
O ponto crucial da minha confusão parece resultar do fato de que, embora a estacionariedade exija que a distribuição conjunta permaneça invariante aos deslocamentos, normalmente os "dados de série temporal" consistem em apenas uma única instância ou amostra do processo - a partir da qual parece impossível concluir nada sobre a distribuição.
Estou entendendo mal alguma coisa aqui?
Respostas
Eu provavelmente consideraria isso um comentário, mas não tenho reputação suficiente para adicioná-lo.
Acredito que sua pergunta possa ser respondida em termos da diferença entre estacionariedade e ergodicidade de uma realização particular do processo estocástico. No livro de Hamilton (Time series Analysis), você pode encontrar um exemplo de um processo estacionário que não é ergódico que basicamente funciona da seguinte maneira:
Considere a média da ith realização de um processo estocástico $\{Y^{(i)}_t\}_{t=-\infty}^{t=\infty}$ ser estar $\mu^{(i)}$, gerado por um $\mathcal{N}(0, \lambda^2)$ distribuição: $Y^{(i)}_t = \mu^{(i)} +\epsilon_t$, ser $\epsilon_t$ (Gaussiano) ruído branco com variação $\sigma^2$. Sob essas suposições, pode-se mostrar que o processo é covariância estacionário. Em particular, a média$\mathbb{E}[Y_t] = \mathbb{E}[\mu^{(i)}] + \mathbb{E}[\epsilon_t] =0$não depende do tempo. No entanto, a i-ésima realização não é ergódica porque a média de tempo$ \lim_{T\rightarrow \infty} 1/T \sum^T_{i=0}Y^{(i)}_t = \mu^{(i)}$ não converge para o meio do processo, ou seja, para $0$.
Para mim, seus exemplos parecem uma versão sofisticada do acima.