Produto de dois pares NDR

Question

Esta é uma pergunta sobre um lema na Topologia Algébrica de maio, afirmando que se $(X,A)$ e $(Y,B)$ são pares NDR, então é $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Por definição $(X,A)$ é um par de NDR se houver um mapa $u:X\to I$ e uma homotopia $h:X\times I\to X$ de tal modo que $u^{-1}(0)=A$ e $h(x,0)=x$ para todos $x\in X$, $h(a,t)=a$ para todos $a\in A$ e $t\in I$e $h(x,1)\in A$ para todos $x\in u^{-1}([0,1))$.

Suponha $(h,u)$ e $(j,y)$ representar $(X,A)$ e $(Y,B)$ como pares NDR, e definir $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ deixando $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Nós entendemos $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ E se $u(x)=v(y)=0$. Minha pergunta é: como podemos verificar a continuidade de$k$?

Answer 1

Você tem que mostrar isso $k$ é contínuo nos subconjuntos $C$ e $D$ do $X\times Y\times I$ definido por $v(y)\ge u(x)$ e $u(x)\ge v(y)$ respectivamente, e as definições concordam $C\cap D$. Isso é suficiente, uma vez que$C$ e $D$ estão fechados em $X\times Y\times I$. Também está claro que na interseção eles coincidem, então tudo que se precisa provar é que$k$ é contínuo em $C$ e em $D$.

As provas para ambos serão semelhantes, então vamos nos concentrar em $C$. Eu acho que está claro que$k$ é contínuo em todos os pontos com $v(y)>0$, Então pegue $P=(x_0,y_0,t_0)$ com $u(x_0)=v(y_0)=0$, isso é $x_0\in A$ e $y_0\in B$. Certamente$h(x,t)$ é contínuo em $P$, então perguntamos se $j(y,tu(x)/v(y))$é também. Isso resultará da continuidade de$tu(x)/v(y)$. Observe que tomamos$t_0u(x_0)/v(y_0)$ ser estar $t_0$.

Deixei $U$ ser um bairro de $t_0$ dentro $I$. Pela continuidade de$u$ e $v$, é suficiente provar que $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ está aberto em $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ Da convenção que $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ que está aberto em $F$.